6.2.1导数与函数的单调性第1课时 课件——2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

第1课时　导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　用函数的导数判定函数单调性的法则 (1)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间； (2)如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间． f′(x)>0　 f′(x)<0 知识点二　一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系 函数的单调性 导数 单调递增 ________ 单调递减 ________ 常函数 ________ f′(x)≥0 f′(x)≤0 f′(x)＝0 基 础 自 测 1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0. 答案：D 2.已知函数f(x)＝＋ln x，则有(　　) A．f(2)＜f(e)＜f(3) B．f(e)＜f(2)＜f(3) C．f(3)＜f(e)＜f(2) D．f(e)＜f(3)＜f(2) 答案：A 3.函数y＝f(x)的图象如图所示，则(　　) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 解析：由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0. 答案：B 4.已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________． 解析：∵f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1， 故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞). (1，＋∞) 课堂探究·素养提升 函数单调性与导数的正负的关系——函数图象与导函数图象的关系 例1　(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法： ①函数y＝f(x)的定义域是[－1，5]； ②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪ [2，4]； ③函数y＝f(x)在定义域内是增函数； ④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确的序号是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【解析】由图象可知，函数的定义域为[－1，5]，值域为(－∞，0]∪[2，4]，故①②正确，选A. 【答案】A (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) 【解析】由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D. 【答案】D (3)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的(　　) 【答案】C 【解析】∵导数的正负确定了函数的单调性， ∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0， 得x＝0或x＝a(a>0)， ∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C. 状元随笔　 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 方法归纳 1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． 跟踪训练1　(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 解析：由函数y＝f(x)的图象可知其单调性从左向右依次为单调递增、单调递减、单调递增、单调递减，所以其导函数y＝f′(x)的图象从左向右依次在x轴上方、下方、上方、下方．通过观察可知，只有选项A符合题意． 答案：A (2)函数y＝f(x)在定义域R上可导，其导函数的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为__________________________． 解析：函数y＝f(x)的单调递增区间为其导函数的图象在x轴上方的部分对应的区间，观察图象知，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－2，－1)，(1，3)，(4，＋∞). (－2，－1)，(1，3)，(4