第一板块 小题保分练(二) 三角恒等变换与解三角形（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第一板块 小题保分练（二） 三角恒等变换与解三角形 1．(2023·湛江模拟)已知cos α＝，0<α<，则sin＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选B　由cos α＝，0<α<，得sin α＝.所以sin＝sin α＋cos α＝×＋×＝. 2．(2023·丹东二模)在△ABC中，AC＝，BC＝，A＝60°，则cos B＝(　 ) A．± B．± C. D. 解析：选D　由正弦定理＝，得sin B＝.因为BC>AC，所以cos B＝. 3．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P，则sin＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选A　由题设得sin＝.由sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝ . 4．(2021·新课标Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：选C　原式＝＝＝sin2θ＋sin θcos θ＝＝＝＝.故选C. 5．(2023·北京高考)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝.又0<C<π，所以C＝.故选B. 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，C＝2(A＋B)，则＝(　 ) A. B．4 C. D. 解析：选B　由C＝2(A＋B)，A＋B＋C＝π，得C＝.由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c.由余弦定理，得cos C＝，即－＝，整理，得5ab－3b2＝0.由b≠0得5a－3b＝0.由a≠0得＝.设a＝3k，b＝5k，则c＝2b－a＝7k，所以＝＝4. 7．(2023·孝感校联考模拟预测)关于θ，对于甲、乙、丙、丁四人有不同的判断，甲： θ是第三象限角，乙：tan θ＝，丙： tan 2θ>1，丁：tan(θ－π)不小于2，若这四人只有一人判断错误，则此人是(　 ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选D　由tan(θ－π)＝tan θ，得乙和丁的判断只有一个正确，且tan 2θ＝.若丁的判断正确，即tan θ≥2，则tan 2θ＝<0，此时丙的判断错误，不符合题意；若乙的判断正确，即tan θ＝，此时满足tan θ>0，且tan 2θ＝＝>1，此时甲、丙都正确，符合题意． 8．(2023·浙江模拟)喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝105°，CD＝100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB＝28°，则酒店的高度约是(参考数据：≈1.4，≈2.4，tan 28°≈0.53)(　 ) A．91米 B．101米 C．111米 D．121米 解析：选B　由题设得∠CBD＝30°.在△BCD中，＝，又sin∠BDC＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，所以BC＝＝＝50(＋)．所以AB＝BCtan∠ACB＝50(＋)×tan 28°≈101米． 9．(2023·河北统考模拟预测)已知tan α＝2，则cos2α－－的值为(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选D　因为tan α＝2，所以tan＝＝＝－3.所以cos2α－－＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝－. 10．(2023·南通二模)古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100 m，则该球体建筑物的高度约为(cos 10°≈0.985)(　 ) A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 解析：选B　如图，设球的半径为R，则AB＝R，AC＝.∵BC＝－R＝100， ∴R＝＝ ＝＝＝＝≈.∴2R≈≈50.76. 11．(2023·海口模拟)[多选]已知锐角α，β，γ满足α＋β＋γ＝π，则(　 ) A．tan α，tan β可能是方程x2－3x－4＝0的两根 B．若α>β，则sin α>sin β C．cos2－sin2<0 D．