第一板块 大题增分练 解三角形的综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第一板块 大题增分练 解三角形的综合问题 1．(2023·贵州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos C＋csin A＝0. (1)求C的大小； (2)若D为BC的中点，CD＝CA，AD＝，求c. 解：(1)由正弦定理，得sin Acos C＋sin Asin C＝0.因为sin A≠0，所以sin C＋cos C＝0， 即tan C＝－. 又因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)因为D为BC的中点，且CD＝CA， 所以a＝2b. 由余弦定理可知AD2＝b2＋b2－2b2cos C， 解得b＝1，所以a＝2. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝7，即c＝. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B. (1)求证：a2－b2＝bc； (2)若cos B＝，点D为边AB上一点，AD＝DB，CD＝2，求边长b. 解：(1)证明：∵A＝2B，∴sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B. ∴a＝2b×，∴(b－c)(a2－b2－bc)＝0. ∴a2－b2－bc＝0或b＝c. 当b＝c时，C＝B，A＝2B＝2C＝，∴a2＝b2＋c2＝b2＋bc，即a2－b2＝bc. 综上，a2－b2＝bc. (2)∵cos B＝，∴sin B＝，sin A＝sin 2B＝，cos A＝cos 2B＝－. ∴sin C＝sin(A＋B)＝，cos C＝. 由＝＝，得＝＝. 设a＝12t，b＝9t，c＝7t，则AD＝3t，BD＝4t. 在△BCD中，由BD2＋BC2－2BD·BC·cos B＝CD2，即(4t)2＋(12t)2－2×4t×12t×＝(2)2， 解得t＝，故b＝9×＝. 3．已知函数f(x)＝sincos－cos2＋(ω>0)，其图象上相邻的两个对称中心之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，bc＝12，f(A)＝1.若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长． 解：(1)因为f(x)＝sincos－cos2＋＝sin ωx－cos ωx＝sin. 由题意得＝，T＝π.因为T＝＝π，解得ω＝2.所以f(x)＝sin. (2)由f(A)＝1得sin＝1，即2A－＝2kπ＋，k∈Z，解得A＝kπ＋，k∈Z. 因为A∈[0，π]，所以A＝. 因为角A的平分线AD交BC于D， 所以S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即bcsin＝c·AD·sin＋b·AD·sin， 可得AD＝. 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc，而bc＝12， 所以16＝(b＋c)2－36，得(b＋c)2＝52.所以b＋c＝2.所以AD＝＝. 4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcos C＝2a＋c. (1)求角B的大小； (2)若2sincos－2sin2＝，求cos C的值． 解：(1)∵在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcos C＝2a＋c. ∴由余弦定理得2b×＝2a＋c，整理得b2＝a2＋c2＋ac. ∴cos B＝＝－. ∵B∈，∴B＝. (2)∵2sincos－2sin2＝， ∴sin＋cos＝， ∴2＝， 即2sin＝，即cos A＝. 又A∈，∴sin A＝ ＝. ∵B＝， ∴cos C＝cos＝coscos A＋sinsin A＝×＋×＝. 5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csin B＝a－bcos C. (1)求B； (2)若＝，BD＝2，求△ABC面积的最大值． 解：(1)由题意，在△ABC中，csin B＝a－bcos C， ∵＝＝，A＋B＋C＝π， ∴sin Csin B＝sin A－sin Bcos C， 即sin Csin B＝sin(B＋C)－sin Bcos C， ∴(sin B－cos B)sin C＝0. ∵sin C≠0,0<B<π， ∴sin B－cos B＝0，可得tan B＝，解得B＝. (2)由题意及(1)可知， 在△ABC中，B＝，＝，BD＝2， ∴D为边AC的中点，4||2＝4×22＝16， ∴2＝＋. ∴42＝(＋)2＝2＋2·＋2，即4||2＝||2＋2||||cos B＋||2＝16. 则a2＋c2＋2accos＝a2＋c2＋ac＝16≥(2＋)ac，当且仅当a＝c时，等号成立． 故ac≤＝32－16. ∴S△ABC＝acsin B＝ac≤8－4. ∴△ABC面积的最大值为8－4. 6．(2023·保山二模)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AD＝CD＝2. (1)当四边形ABCD内接于圆O时，求角C； (2)当四边形ABCD面积最大时，求对角线B