第五板块 小题保分练(二) 圆锥曲线的方程与性质（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第五板块 小题保分练（二） 圆锥曲线的方程与性质 1．(2023·辽阳二模)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，M(m,2)在抛物线C上，且|MF|＝4，则p＝(　 ) A．2 B．4 C．8 D．12 解析：选B　由题意可得|MF|＝2＋＝4，则p＝4. 2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题意得，2a＝4b，所以＝. 所以e＝＝ ＝ ＝. 3．[多选]已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．下列椭圆的方程中，能使得△ABF1为正三角形的是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1 D．x2＋＝1 解析：选BD　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)．由题意知AB⊥F1F2，易知|AB|＝. 又|AB|＝|BF1|＝2|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，故b2＝，显然B、D选项正确． 4．已知点(0,4)到双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D．5 解析：选C　由题意可得双曲线的一条渐近线为by－ax＝0，所以(0,4)到by－ax＝0的距离为d＝＝＝，所以＝.不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝. 5．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋y2＝1 解析：选B　依题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，·＝－a2＋b2＝－(a2－b2)＝－c2＝－1，故c＝1.又C的离心率e＝＝＝，所以a＝3，a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为＋＝1，故选B. 6．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　根据题意，抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，则点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，即1＋＝5，解得p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x，则m2＝16，所以m＝4，即M的坐标为(1,4)．又双曲线－y2＝1的左顶点A(－a,0)，一条渐近线为y＝x，而kAM＝.由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则有＝，解得a＝. 7．(2023·哈师大附中模拟)[多选]已知曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则(　 ) A.<m<1 B．C的离心率为 C．C的短轴长的取值范围是(2,2) D．m的值越小，C的焦距越大 解析：选AC　曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则曲线C的标准方程为＋＝1，其中a2＝，b2＝. 因为C的焦点在y轴上，所以>>0， 即<m<1，故A正确； C的离心率为e＝＝，故B错误； C的短轴长2b＝2，当<m<1时，2<2b<2，故C正确； C的焦距2c＝2，当m＝时，2c＝；当m＝时，2c＝>，故D错误． 8．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝＝　①，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.由①②，解得mn＝.设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以|OP|＝. 9．(2023·天津高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　 ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：选D　不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立并解得即P.因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c,0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝＝＝b，所以b＝2.因为F1(－c,0)，P，且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得