第五板块 大题增分练(一) 求值问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第五板块 大题增分练（一） 求值问题 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－y＝0，且双曲线经过点A(2,2)． (1)求双曲线C的方程； (2)过点B(1,0)且斜率不为0的直线与C交于M，N两点(与点A不重合)，直线AM，AN分别与直线x＝1交于点P，Q，求的值． 解：(1)由题意可知－＝1，＝， 解得a＝，b＝2. 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)设直线MN的方程为x＝my＋1，代入－＝1中，可得(2m2－1)y2＋4my－2＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则2m2－1≠0，Δ＝32m2－8>0， y1＋y2＝，y1y2＝. 直线AM的方程为 y＝(x－2)＋2， 令x＝1，得点P的纵坐标为yP＝＋2. 直线AN的方程为 y＝(x－2)＋2，令x＝1，得点Q的纵坐标为yQ＝＋2. 因为＋＝ ＝＝－4，所以yP＋yQ＝0，即＝1. 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F1与圆x2＋y2＋2x＝0的圆心重合，过右焦点F2的直线与C交于A，B两点，△ABF1的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)若C上存在M，N两点关于直线l：2kx－2y＋3＝0对称，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求k的值． 解：(1)由x2＋y2＋2x＝0，得F1(－，0)， ∴c＝.根据椭圆定义，由△ABF1的周长为8，得4a＝8，a＝2.∴b2＝a2－c2＝1. 椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设线段MN的中点 Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由直线l：kx－y＋＝0， 且l⊥MN， 设lMN：x＝－ky＋m，则联立 得(k2＋4)y2－2kmy＋m2－4＝0， 则Δ＝(2km)2－4(k2＋4)(m2－4)＝16(k2＋4－m2)， y1＋y2＝，y1y2＝， x1x2＝m2－km(y1＋y2)＋k2y1y2. ∵OM⊥ON，∴·＝0，x1x2＋y1y2＝0， 即m2－km(y1＋y2)＋(k2＋1)y1y2＝0， ∴5m2＝4(k2＋1)．① 由得＋y－y＝0， 即＋·＝0.∴·＝. ∵＝，＝，∴＝， 得2y0＝－1. ∴＝－1.② 联立①②，消去m得11k4－24k2－80＝0， ∴k2＝4，k＝±2.∴或 经验证，满足Δ>0，∴k＝±2. 3.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，F为其焦点，点A(2，y0)在C上，△OAF的面积为4. (1)求抛物线C的方程； (2)过点P(m,0)(m>0)作斜率为－1的直线l1交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q，以Q为切点作抛物线C的切线l2，且l2∥l1，求△MNQ的面积． 解：(1)由题意可知，抛物线C的焦点F. 将A(2，y0)代入抛物线C的方程得y＝4p. 又p>0，则|y0|＝2. 因为△OAF的面积为××2＝＝4，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x. (2)由(1)可得抛物线C的方程为y2＝8x，焦点F(2,0)． 设直线l1：x＝－y＋m(m>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)， 联立方程消去x得y2＋8y－8m＝0， 则Δ＝64＋32m>0，y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m. 因为点M(x1，y1)在抛物线上， 则y＝8x1，即x1＝. 所以直线MF的方程为 x＝y＋2＝y＋2＝y＋2. 联立方程消去x得y2＋y－16＝0，可得y1y3＝－16，即y3＝－，则x3＝×＋2＝，即Q. 因为l2∥l1，可设l2：x＝－y＋n， 代入Q得＝＋n，即n＝－， 所以l2：x＝－y＋－. 联立方程消去x得y2＋8y＋8＝0.因为l2为抛物线C的切线， 则Δ＝64－32＝0， 整理得y－8y1＋16＝0，解得y1＝4. 又因为y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m，y1y3＝－16， 可得y2＝－12，m＝6，y3＝－4， 即Q(2，－4)，l1：x＝－y＋6. 可得|MN|＝|4－(－12)|＝16， 点Q(2，－4)到x＋y－6＝0的距离d＝＝4. 所以△MNQ的面积S△MNQ＝|MN|×d＝×16×4＝64. 学科网（北京）股份有限公司 $$