第五板块 大题增分练(五) 最值、范围问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第五板块 大题增分练（五） 最值、范围问题 1．(2023·十堰模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设与圆O：x2＋y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点(O为坐标原点)，求线段AB长度的最大值． 解：(1)由题意知，＝，2b＝2，结合a2－b2＝c2，解得a2＝3，b2＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ①当AB⊥x轴时，易得|AB|＝； ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠0)． 由已知＝，得m2＝(k2＋1)，把y＝kx＋m代入椭圆方程消去y，整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 则Δ＝36k2m2－4(3k2＋1)(3m2－3)＝36k2－12m2＋12>0，得3k2＋1>m2，显然成立， 故x1＋x2＝，x1x2＝. |AB|2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝ (1＋k2) ＝＝ ＝＝3 ＝3＋≤3＋＝4， ∴|AB|≤2，当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．综上可知，|AB|的最大值为2. 2．(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0， 由Δ1＝16p2－8p>0，得p>. 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p， 所以|AB|＝·＝·＝4，解得p＝2或p＝－(舍去)，故p＝2. (2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1,0)． 因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝|MF||NF|＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)　(*)． 当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°， 所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1. 不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1， 由得x2－6x＋1＝0， 得或 代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)． 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m. 由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0， Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0， 则 y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝. 又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0， 所以－＋1＋＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4. 所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1) ＝＝ ＝2＋2＋1. 令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1， 因为m2＋k2＋6km＝4， 所以2＋6＋1＝>0， 即t2＋6t＋1>0， 得t>－3＋2或t<－3－2， 从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)． 故△MFN面积的最小值为4(3－2)． 3．已知点A，F分别为双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B，△ABF的面积为2(＋1)． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线y＝kx－1与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，记△MON，△APQ的面积分别为S1，S2(O为坐标原点)．若S1＝λS2，求实数λ的取值范围． 解：(1)由题意可知C：－＝1，所以A(－a,0)，F(c,0)． 由已知c＝＝a，可得B(c，a)， 则S△ABF＝|AF|·yB＝(c＋a)·a＝(＋1)a2＝2(＋1)，解得a＝2. 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立整理可得(1－k2)x2＋2kx－5＝0. 所以 解得－1<k<－或－<k<1. 由x1＋x2＝，x1x2＝，得 |MN|＝|x1－x2|＝ ＝. 原点到直线y＝kx－1的距离d1＝. 所以S△MON＝|MN|d1＝×·＝. 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，易知渐近线方程为y＝±x. 不妨设P(x3，y3)在渐近线y＝x上， 由得x3＝.同理x4＝. 所以|PQ|＝|x3－x4|＝ ＝. A(－2,0)到直线y＝kx－1的距离d2＝. 所以S△APQ＝|PQ|d2＝×·＝. 所以λ＝＝＝. 令t＝2k＋1∈(－1,0)∪(0,3)， 则λ＝＝， 令u＝∈(－∞，－1)∪， 则λ＝>， 故λ的取值范围是. 4．(2023·辽阳模拟)已知椭圆C：＋＝1(b>0)与y轴交