第五板块 大题增分练(四) 定值问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第五板块 大题增分练（四） 定值问题 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线y＝k(x－1)(k>0)与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为，求证：·为定值． 解：(1)∵e＝＝，∴a2＝2c2， 代入a2＝b2＋c2得b＝c. 又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即b×2c＝2，即bc＝2， 以上各式联立解得a2＝4，b2＝2，则椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：直线y＝k(x－1)与x轴交点为M(1,0)，与y轴交点为N(0，－k)． 联立消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－4)＝24k2＋16>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. ∴·＝·＝＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋＝(1＋k2)＋＋k2＋＝－， ∴·为定值． 2．已知抛物线T：y2＝2px(0<p<4)的焦点为F，M为T上一动点，N为圆E：x2＋(y－4)2＝1上一动点，|MN|＋|MF|的最小值为－1. (1)求T的方程； (2)直线l交T于A，B两点，交x轴的正半轴于点C，点D与C关于原点O对称，且·＝12，求证：kAD＋kBD为定值． 解：(1)由题意得F，E(0,4)．当点M，N，F，E四点共线且点M，N在E，F中间时，|MN|＋|MF|取得最小值， 最小值为|FE|－1＝－1＝－1.又p>0，解得p＝2， 所以T的方程为y2＝4x. (2)证明：当直线l的斜率为0时，显然不符合题意； 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝ty＋m(m>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立得y2－4ty－4m＝0， 则Δ＝16t2＋16m>0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，所以x1x2＝·＝m2.又·＝12， 所以x1x2＋y1y2＝m2－4m＝12. 所以m2－4m－12＝0，解得m＝6或m＝－2(舍去)，即C(6,0)，所以D(－6,0)． 所以kAD＋kBD＝＋ ＝. 又x1y2＋x2y1＋6(y1＋y2)＝(ty1＋6)y2＋(ty2＋6)y1＋6(y1＋y2)＝2ty1y2＋12(y1＋y2)＝－48t＋48t＝0.所以kAD＋kBD为定值． 3．已知直线l：y＝k(x＋2)恰好经过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与C交于A，B两点，M为AB的中点，当k＝时，直线OM的斜率为1. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l1经过F且与直线l垂直，与双曲线C交于D，E两点，N为DE的中点，证明：△MON与△MFN的面积之比为定值． 解：(1)依题意可知F(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差可得－＝0， 即·＝.又当k＝时，直线OM的斜率为1，所以1×＝.又a2＋b2＝4， 解得a2＝3，b2＝1.所以双曲线C的方程为－y2＝1. (2)证明：联立直线l与双曲线方程 消去y整理得(1－3k2)x2－12k2x－12k2－3＝0，则1－3k2≠0，Δ>0， 所以所以＝，＝.所以M. 又因为直线l1与l垂直，所以用－替换k，得到N. 当＝，即k＝±1时，直线MN的方程为x＝－3，直线MN过点Q(－3,0)． 当k≠±1且k≠±，k≠±时，直线MN的斜率为＝－， 所以直线MN的方程为 y－＝－. 令y＝0，得x＝＋＝－3. 所以直线MN过点Q(－3,0)． 综上，直线MN恒过定点Q(－3,0)． 所以△MON与△MFN的面积之比为＝3，即△MON与△MFN的面积之比为定值． 4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，N(不在x轴上)是椭圆C上一点，M是线段NF1的中点，△F1MO的周长为3，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知P是椭圆C上一点，过P作圆：x2＋y2＝的切线l，直线l与椭圆C交于另一点Q，探究OP，OQ的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意知，＝，　① 由椭圆定义知，|NF1|＋|NF2|＝2a. ∵M是线段NF1的中点，O是线段F1F2的中点， ∴|OM|＝|NF2|. ∴△OMF1的周长为|OM|＋|OF1|＋|F1M|＝|NF2|＋|NF1|＋c＝a＋c，∴a＋c＝3.　② 由①②解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m. 由直线l与圆：x2＋y2＝相切，得＝，∴m2＝(1＋k2)．　③ 将y＝kx＋m代入＋＝1，整理得(3＋4k2)x2＋8km