第五板块 大题增分练(三) 定点、定直线问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第五板块 大题增分练（三） 定点、定直线问题 1．(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 解：(1)∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)， ∴可设椭圆E的方程为＋＝1. 又椭圆E过B， ∴＋＝1，得a2＝3.∴E的方程为＋＝1. (2)证明：因为A(0，－2)，B，所以直线AB：y＋2＝x. ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在， 直线x＝1.代入＋＝1， 可得M，N，代入直线AB的方程y＝x－2，可得T.由＝得H.求得直线HN的方程为y＝x－2，过定点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在， 设直线的方程为kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立 得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0， 可得 所以 且x1y2＋x2y1＝－， 联立可得T，由＝，得H(3y1＋6－x1，y1)． 可求得直线HN的方程为 y－y2＝(x－x2)． 将(0，－2)，代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 所以24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0. 综上，可得直线HN过定点(0，－2)． 2．已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点P(－2,4)，|PF|＝5，过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点C. (1)求抛物线E的标准方程； (2)求证：直线BC过定点． 解：(1)焦点F，|FP|＝＝5. ∵p>0，∴p＝2. 故抛物线E的标准方程为y2＝4x. (2)证明：显然直线AB斜率存在，设AB的方程为y－4＝k(x＋2)， 由化简得ky2－4y＋16＋8k＝0，k≠0，Δ＝16(－2k2－4k＋1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝＋8， ∴y1y2－8＝4(y1＋y2)．　① 直线AC的方程为y－y1＝， 由化简得y2－8y＋8y1－y＝0，Δ＝64－4(8y1－y)>0. 设C(x3，y3)，则y1＋y3＝8.　② 由①②得(8－y3)y2－8＝4(8－y3＋y2)， ∴4(y2＋y3)＝y2y3＋40.　③ 若直线BC的斜率不存在，则y2＋y3＝0. 又4(y2＋y3)＝y2y3＋40，∴y＝40. ∴x3＝＝10. ∴直线BC的方程为x＝10. 若直线BC的斜率存在，则其斜率为＝. 直线BC的方程为 y－y2＝， 即4x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0. 将③代入得4x－(y2＋y3)y＋4(y2＋y3)－40＝0，∴(y2＋y3)(4－y)＋4(x－10)＝0， 故直线BC的斜率存在时过点(10,4)． 综上，直线BC过定点(10,4)． 3．已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)2＋y2＝16相切． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)动直线l过点A(0,1)，且与轨迹C分别交于S，T两点，点Q与点S关于y轴对称(点Q与点T不重合)，求证：直线QT恒过定点． 解：(1)设动圆P与圆M相切的切点为B， 则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PB|＝4>|MN|＝2， 所以点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆． 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)， 则2a＝4,2c＝2，所以b＝＝， 所以椭圆的方程为＋＝1， 即点P的轨迹C的方程为＋＝1. (2)证明：由题意可知直线QT的斜率显然不为0， 不妨设直线QT的方程为x＝my＋t，设T(x1，y1)，Q(x2，y2)，则S(－x2，y2)， 联立消去x整理得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0， 所以y1y2＝，y1＋y2＝. 因为T，A，S三点共线，所以＝， 所以(y1－1)(my2＋t)＋(my1＋t)(y2－1)＝0， 即2my1y2＋(t－m)(y1＋y2)－2t＝0. 所以2m－6(t－m)－2t＝0，解得t＝－3m. 故直线QT的方程为x＝my－3m＝m(y－3)．所以直线过定点(0,3)． 4．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P的坐标为(3,1)，且·＝6. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P的动直线l与C的左、右两支分别交于两点A，B，若点M在线段AB上，满足＝，证明：M在定直线上． 解：(1)设|F1F2|＝2c(c>0)，因为双曲线C的离心率为e＝＝＝， 设a＝t，c＝2t，t>0，所以F1(－2t,0)，F2(2t