第五板块 大题增分练(二) 证明问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第五板块 大题增分练（二） 证明问题 1．(2023·茂名模拟)设双曲线C：－＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为6，点(2，1)在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)已知M是直线x＝上一点，直线MF2交双曲线C于A(A在第一象限)，B两点，O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线l，l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点． 解：(1)因为焦距为6，所以c＝3. 将点(2，1)代入C的方程得－＝1. 又因为a2＋b2＝c2＝9，联立解得a2＝6，b2＝3. 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：由(1)可知，M的横坐标为2. 设直线MF2的方程为x＝my＋3(m≠0)，则M的纵坐标为yM＝－. 联立方程消去x得(m2－2)y2＋6my＋3＝0， 则 可得m≠±，且m≠0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝. 因为l∥OA，所以直线l的方程为y＋＝ (x－2)． 又因为直线OB的方程为y＝x， 联立方程 解得y＝， 即P的纵坐标为yP＝. 由y1＋y2＝，y1y2＝两式相除， 得＝－，即y1y2＝－(y1＋y2)， 所以yP＝＝ ＝＝－. 因为yQ＝0， 所以yP＝. 故P为线段MQ的中点． 2．已知定圆F：(x－1)2＋y2＝16，动圆H过点E(－1,0)且与圆F相切，记圆心H的轨迹为C. (1)求曲线C的方程． (2)已知A(－2,0)，B(2,0)，点M是曲线C上异于A，B的任意一点，设直线AM与直线l：x＝4交于点N，求证：∠MFB＝2∠NFB. 解：(1)由圆F：(x－1)2＋y2＝16可得圆心F(1,0)，半径r＝4, ∵点E(－1,0)在圆F内，∴圆H内切于圆F， ∴|HE|＋|HF|＝4>|EF|＝2 . ∴点H的轨迹C为椭圆．设其方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，c＝1，∴b＝＝. ∴轨迹C的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x0，y0)，且在x轴的上方时， 若MF⊥AB，不妨取M，满足曲线C的方程＋＝1，则AM的方程为y＝(x＋2)，则N(4,3)，此时∠NFB＝45°. 又∠MFB＝90°，故∠MFB＝2∠NFB； 若MF不垂直于AB，设∠NFB＝θ，∠MFB＝α， 则由M(x0，y0)，F(1,0)得kMF＝tan α＝. 又直线AM的方程为y＝(x＋2)， 联立x＝4可得N， 故kNF＝＝＝tan θ， 则tan 2θ＝＝＝. 又3x＋4y＝12， 则tan 2θ＝ ＝＝＝tan α. 又θ∈，α∈(0，π)， 故2θ＝α,即∠MFB＝2∠NFB； 当点M在x轴的下方时，根据对称性，显然也满足∠MFB＝2∠NFB； 综上，∠MFB＝2∠NFB得证． 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． 解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距， 由题意可得解得 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则x1＝my1－4，x2＝my2－4. 联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0. 因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0. 由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2. 因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点， 所以A1(－2,0)，A2(2,0)． 直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，所以＝，得＝，＝＝. 因为＝ ＝＝ ＝－3， 所以＝－3，解得x＝－1， 所以点P在定直线x＝－1上． 4．(2023·广州三模)直线l经过点T(t,0)(t>0)且与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点． (1)若A(1,2)，求抛物线C的方程； (2)若直线l与坐标轴不垂直，M(m,0)，证明：∠TMA＝∠TMB的充要条件是m＋t＝0. 解：(1)因为抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点A(1,2)，可得22＝2p，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：设直线l的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组整理得k2x2－2(k2t＋p)x＋k2t2＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝t2. 当m＋t＝0时，直线AM，BM的斜率之和为 kAM＋kBM＝＋ ＝. 因为y1(x2－m)＋y2(x1－m)＝k(x1－t)(x2－m)＋k(x2－t)(x1－m)＝k[2x1x2－(m＋t)(x1＋x2)