第五板块 创新强化练 “解析几何”创新考法专训（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第五板块 创新强化练 “解析几何”创新考法专训 1．已知a>b>0，e1与e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lg e1＋lg e2的值(　 ) A．一定是正值 B．一定是零 C．一定是负值 D．符号不确定 解析：选C　∵a＞b＞0，∴0<<1，e1＝，e2＝，∴e1e2＝∈(0,1)，∴lg e1＋lg e2＝lg(e1e2)<0. 故选C. 2．(2023·福州模拟)初中时通常把反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线，它的图象就是在圆锥曲线定义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当k>0时只需把反比例函数的图象绕着原点顺时针旋转45°，便得到焦点在x轴的双曲线的图形．所以也可以理解反比例函数的图象是以x轴、y轴为渐近线，以直线y＝x为实轴的等轴双曲线，那么当k＝4时，双曲线的焦距为(　 ) A．8 B．4 C．2 D．4 解析：选A　由题意知，旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为－＝1(a>0)．又注意到(2,2)在函数y＝图象上，其与原点连线与x轴的正半轴夹角为45°，则将点(2,2)绕原点顺时针旋转45°后，该点落在x轴的正半轴，设为(m,0)，因为旋转前后到原点距离不变，则m2＝8m＝2.即将点(2,2)绕原点顺时针旋转45°后，可得点(2，0)，则(2，0)满足－＝1.可得双曲线方程为－＝1，则c＝＝4，则焦距为2c＝8.故选A. 3.如图圆柱O1O2的底面半径为1，母线长为6，以上、下底面为大圆的半球在圆柱O1O2内部，现用一垂直于轴截面ABB′A′的平面α去截圆柱O1O2且与上、下两半球相切，则截得的圆锥曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D．3 解析：选A　作出截面图，显然平面α经过O1O2中点，设中点为G，切点分别为E，F.∵底面半径为1，O1O2＝6，则O2E＝1，O2G＝3，∴sin∠O2GE＝，作出立体图，则平面α与底面夹角的余弦值为.∵圆柱的底面半径为1， ∴椭圆的短轴MN＝2b＝2，得b＝1. 又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角的余弦值为，以G为原点建立如图所示平面直角坐标系， ∴＝＝，a＝3，则椭圆标准方程为＋y2＝1， c＝＝2， 故离心率e＝＝. 4.如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角α与β的终边分别与单位圆相交于E，F两点，且α∈，β∈，若直线EF的斜率为，则sin(α＋β)＝(　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：选B　由题意得∠AOE＝α，∠AOF＝β，OE＝OF，则直线EF的倾斜角为α－＝－.tan＝，即－＝，则tan＝－4. 则tan(α＋β)＝＝＝. ∵α∈，β∈，∴α＋β∈. 又∵tan(α＋β)＞0，∴α＋β∈， 则tan(α＋β)＝＝，结合sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－. 5．(2022·河南联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，若·＝·，且＝3，则C的离心率为(　 ) A．2 B.－1 C. D. 解析：选D　由题意，得A(a,0)，F(c,0)． ∵·＝·，∴·(＋)＝·＝0， ∴直线l⊥x轴，即l：x＝a.可令Q在第一象限，则由得Q(a，b)． 设B(x0，y0)，由＝3，得＝2. 又＝(c－x0，－y0)，＝(a－c，b)， ∴(c－x0，－y0)＝2(a－c，b)，∴ ∴B(3c－2a，－2b)． ∵点B(x0，y0)在双曲线C上，∴－＝1，整理得9c2－12ac－a2＝0. ∴9e2－12e－1＝0，解得e＝或e＝(负值舍去)，故选D. 6．[多选]已知正三角形ABC的边长为2，点D为边BC的中点．若△ABC内一动点M满足|MA|2＋3|MD|2＝3.则下列说法正确的有(　 ) A．线段BM长度的最大为 B.·的最大值为－ C．△ABM面积的最小值为 D．cos∠MBC的最小值为 解析：选BD　如图，以点D为原点建立平面直角坐标系，则D(0,0)，A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．设M(x，y)，由|MA|2＋3|MD|2＝3，得x2＋(y－)2＋3(x2＋y2)＝3，化简得x2＋y2－y＝0，故动点M的轨迹是一个以圆心为P，半径r＝的圆(不含原点D)．由B(－1，0)，所以|BM|max＝|BP|＋r＝，故A错误；·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－＝||2－1≤2－1＝－，故B正确；直线AB：＋＝1，即x－y＋＝0，圆心P到直线AB的距离为＝， 则点M到直线AB的距离的最小值为－＝，所以△ABM面积的最小值为×2×＝，故C错误；由题意得∠MBC为锐角，则cos∠MBC取最小值时，