第三板块 小题保分练(一) 空间几何体的表面积及体积（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第三板块 小题保分练（一） 空间几何体的表面积及体积 1.如图所示的是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(　 ) A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 解析：选C　由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴．又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立． 2.(2023·淄博一模)如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为20π，则其体积为(　 ) A.π B．15π C.π D.π 解析：选A　由题意可知，设该几何体中间部分圆柱的高为h，圆柱的半径为r，则该几何体的表面积为4πr2＋2πr·h＝20π，因为r＝2，所以h＝1.所以该几何体的体积V＝πr3＋πr2·h＝π. 3.(2023·武汉一模)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15 cm，高为10 cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为(　 ) A. B. C．4 D．5 解析：选D　因为大圆柱表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π，小圆柱侧面积为10×2πr，上、下底面积为2πr2，所以加工后工件的表面积为750π＋20πr－2πr2，当r＝5时表面积最大．故选D. 4．(2023·烟台二中模拟)已知圆锥的侧面积为4π，高为2，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为(　 ) A．8π B．8π C．9π D．9π 解析：选D　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则解得r＝2，l＝2.由题意知当球为圆锥的外接球时，体积最小．设外接球的半径为R，则(2－R)2＋22＝R2，解得R＝.所以外接球的体积为πR3＝π×3＝9π. 5．(2023·通化模拟)已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1∶3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为(　 ) A．2 B. C．4 D．3 解析：选B　如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为3r，底面圆周长为6πr，因为圆台的母线长为4，根据上、下底面圆半径的比为1∶3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6.因为圆台展开图所在扇形的圆心角为，所以×6＝6πr，得r＝.所以圆台的高h＝＝. 6．[多选]已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　 ) A．球O的表面积为6π B．球O的内接正方体的棱长为1 C．球O的外切正方体的棱长为 D．球O的内接正四面体的棱长为2 解析：选AD　设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为R，易得R＝.因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的，所以r2－r2＝，得r2＝.所以球O的表面积S＝4πr2＝4π×＝6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足 a＝2r，显然B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2r，显然C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝r＝×＝2，D正确． 7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　 ) A. B．2 C. D. 解析：选C　因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合＝2可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝＝，h2＝＝2.所以＝＝＝.故选C. 8．(2023·南京二模)在直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则AC长为(　 ) A. B．1 C. D. 解析：选D　设AC＝m，因为AB＝2，所以BC＝＝.绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为R，则4πR2＝，解得R＝.设外接球的球心为O，则球心在直线AC上，如图所示，所以4－m2＋2＝，解得m＝.故选D. 9.(2023·茂名统考二模)贯耳瓶流行于宋代，