第三板块 小题保分练(三) 空间中的最值、动态、截面问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第三板块 小题保分练（三） 空间中的最值、动态、截面问题 1.(2023·榆林三模)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，则线段MN的最大值为(　 ) A．2 B．2 C. D．3 解析：选A　如图，取B1C1的中点D，取BB1的中点E，连接MD，DE，ME，所以DE∥BC1.又DE平面ABC1，BC1平面ABC1，所以DE∥平面ABC1.又M为A1C1的中点，所以MD∥A1B1∥AB，又MD平面ABC1，AB平面ABC1，所以MD∥平面ABC1.又DE∩MD＝D，DE平面DEM，MD平面DEM，所以平面DEM∥平面ABC1.又因为N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，所以N在线段DE上．又因为ME＝＝＝2，MD＝1，所以线段MN的最大值为2. 2.(2023·江西模拟)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝2，AA1＝1，AB⊥AC，点E，E1分别是棱BC，B1C1的中点，点G在棱A1B1上，且GB1＝，截面AA1E1E内的动点P满足GB⊥PE1，则PE＋PB1的最小值是(　 ) A．2＋ B. C. D．2 解析：选C　由题意知，AE⊥BC，E1E⊥BC，A1E1＝B1C1＝.又AE∩E1E＝E，AE，E1E平面AA1E1E，所以BE⊥平面AA1E1E.设点G在平面AA1E1E内的投影为H1，则点H1在线段A1E1上，且A1G2＝2A1H12，即(2－)2＝2A1H12A1H1＝－1，所以E1H1＝A1E1－A1H1＝1，设点H在线段AE上，且HE＝1，则四边形HH1E1E是一个正方形，点P的轨迹是其对角线HE1.将△HEE1与△HB1E1展开到一个面内，得到如图图形，因此PE＋PB1的最小值是B1E，由余弦定理，得B1E2＝12＋2－2×1××＝5，所以B1E＝. 3.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形，由题意解三角形可得NE＝ME＝，AM＝AN＝，MN＝.∴△AMN中MN边上的高h1＝＝.△EMN中MN边上的高h2＝＝.∴平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·(h1＋h2)＝×× ＝ . 4.(2023·浏阳联考)如图，圆柱OO1的上、下底面圆心分别为O1，O，底面圆直径AB＝2，圆柱高为，C是下底面圆周上一动点，连接CO1，过CO1作圆柱的截面，当截面与圆柱的下底面所成的角最小时，点O到截面的距离为(　 ) A. B. C．1 D．与动点C的位置有关 解析：选A　∵截面过CO1，OO1，∴截面与圆柱的下底面的交线过C点．设交线为l，连接CO，过点O向l引垂线，垂足为点D，连接O1D，则∠ODO1为截面与圆柱的下底面所成的角θ，且tan θ＝＝，∴要使θ最小，则OD最大，而OD≤CO＝1，此时D点与C点重合，l⊥平面O1CO，且l在截面内，从而截面垂直于平面O1CO，∴点O到截面的距离为点O到直线CO1的距离＝＝.故选A. 5．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形且边长为2，侧棱AA1长为4，以A1为球心，2为半径的球面与侧面CDD1C1的交线长为(　 ) A．2π B．2π C.π D.π 解析：选C　设以A1为球心，2为半径的球面与侧面CDD1C1交于E，F两点，因为CC1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，所以CC1⊥A1C1，则A1E＝A1F＝2，故C1F＝＝＝2，所以点F为CC1的中点，D1E＝＝2，D1F＝＝2，因为A1D1⊥平面CDD1C1，则以A1为球心，2为半径的球面与侧面CDD1C1的交线，即为以D1为圆心，半径为2作圆与平面CDD1C1的交线，在Rt△D1C1F中，C1D1＝C1F，则∠C1D1F＝.所以∠ED1F＝，所以弧长EF为×2＝π.故选C. 6．(2023·淄博二模)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内．若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是(　 ) A. B. C. D. 解析