第三板块 小题保分练(二) 空间点、线、面位置关系（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第三板块 小题保分练（二） 空间点、线、面位置关系 1．(2023·石家庄统考三模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　 ) A．若m∥n，nα，则m∥α B．若mα，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β C．若mα，m⊥β，则α⊥β D．若α⊥β，m⊥α，则m∥β 解析：选C　若m∥n，nα，则m∥α或mα，A错误；若mα，α∩β＝n，m⊥n，α与β不一定垂直，因此m⊥β不正确，B错误；由面面垂直的判定定理知C正确；若α⊥β，m⊥α，则m∥β或mβ，D错误．故选C. 2．(2023·青岛一模)[多选]下列说法正确的是(　 ) A．若直线a不平行于平面α，aα，则α内不存在与a平行的直线 B．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α∥β C．设l，m，n为直线，m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充要条件 D．若平面α⊥平面α1，平面β⊥平面β1，则平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补 解析：选AB　若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a与平面α平行，与条件相矛盾，故A正确；由面面平行的判定定理可知B正确；当直线m，n不相交时，由线面垂直的判定定理知：l⊥m且l⊥n时，得不到l⊥α，故C错误；当α1∥β1，α⊥β时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90°，平面α1与平面β1所成的二面角为0°，故D错误．故选A、B. 3．安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城．徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCD-A1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过D1，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成的角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　如图所示，在平面AA1D1D中，连接D1E与DA交于点H，则HA＝AD，在平面CC1D1D中，连接D1F与DC交于点G，则GC＝CD，则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l，且GH∥AC，而在等边△ACD1中AC与AD1所成的角为，故l与直线AD1所成的角为.故选A. 4.(2023·北京顺义二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　 ) A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 解析：选D　过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE，当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE.因为DD1⊥平面ABCD，且DE平面ABCD，所以DD1⊥DE，即DD1⊥MN.所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条．故选D. 5．(2023·全国甲卷)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC面积为(　 ) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选C　如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，AO，BO.由PC＝PD，得PM⊥DC.又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM.又OM平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三点共线．所以OA＝OB.所以Rt△POA≌Rt△POB.所以PB＝PA.在△PAC中，由余弦定理，得PA＝＝，所以PB＝.在△PBC中，由余弦定理，得cos∠PCB＝＝，所以sin∠PCB＝.所以S△PBC＝PC·BCsin∠PCB＝4，故选C. 6.(2023·郑州质检)许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点可构成正五棱锥P－ABCDE，则PA与平面ABCDE所成角的余弦值约为(参考数据：cos 36°≈0.8)(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　由题意，PA，PB，PC，PD，PE在平面ABCDE上的射影分别为P′A，P′B，P′C，P′D，P′E，如图所示，∴五个三角形都是等腰三角形且∠AP′B＝72°，易知P′A＝ .而cos 36°≈0.8，令AB＝BC＝CD＝DE＝AE＝a，∴P′A＝ ≈.又正二十面体的每一个面均为等边三角形，即PA＝AB＝a，且P′P⊥平面ABCDE，∴PA与平面ABCDE所成角的余弦值约为. 7.(2023·北京房山一模)如图，已知正方体