第三板块 微点专项练 三棱锥外接球球心和半径的探究（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第三板块 微点专项练 三棱锥外接球球心和半径的探究 1.(2023·衡水中学三模)如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AB＝4，AF＝1，若G是线段EF上的动点，则三棱锥C-ABG的外接球表面积的最小值是(　 ) A．16π B．20π C．32π D．36π 解析：选C　由题意可设△ABG的外接圆半径为r，由正弦定理，知2r＝＝，当∠AGB＝时，r取得最小值2，此时外接球半径R满足R2＝r2＋22≥8，解得R≥2.所以三棱锥C-ABG的外接球的最小半径为2.所以外接球表面积为4πR2＝32π.故选C. 2．已知球O是正三棱锥A-BCD(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，BC＝，AB＝，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　如图，O1是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圆半径BO1＝×＝1.由勾股定理得棱锥的高AO1＝＝1.设球O的半径为R，则BO2＝OO＋BO，即R2＝(1－R)2＋12，解得R＝1，所以OO1＝0，即点O与O1重合．在Rt△AOB中，点E是线段AB的中点，AO＝BO＝1，所以OE＝1×sin＝.当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为＝，所以截面面积的最小值为π×2＝. 3．(2023·襄城三模)如图1，在△PBC中，PA⊥BC，AM⊥PB，BC＝6，PA＝4，沿PA将△PAB折起，使得二面角B-PA-C为60°，得到三棱锥P-ABC，如图2，若AM⊥PC，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　 ) A．32π B．36π C．64π D．80π 解析：选A　因为AM⊥PB，AM⊥PC，PB∩PC＝P，PB平面PBC，PC平面PBC，所以AM⊥平面PBC.又BC平面PBC，则AM⊥BC.因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.又PA∩AM＝A，PA平面PAB，AM平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，所以AB⊥BC，即∠ABC＝90°.因为二面角B-PA-C为60°，所以∠BAC＝60°.在Rt△ABC中，AB＋AC＝6，可得AC＝4，AB＝2.易知，三棱锥P－ABC的四个顶点可以与一个长方体的四个顶点重合， 如图所示，则该长方体的外接球即为P－ABC的外接球，即球心为PC的中点，所以R＝＝＝2.所以三棱锥P－ABC的外接球的表面积为4πR2＝4π×(2)2＝32π，故A正确． 4．在三棱锥P-ABC中，AC⊥平面PAB，AB＝AC＝6，BP＝2，∠ABP＝45°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　 ) A．76π B．128π C．144π D．148π 解析：选A　在△PAB中，AB＝6，BP＝2，∠ABP＝45°，则AP2＝AB2＋BP2－2AB·BPcos∠ABP＝36＋8－2×6×2×＝20，所以AP＝2.设△PAB外接圆的半径为r，则2r＝＝2，所以r＝.设△PAB外接圆的圆心为O1，三棱锥P-ABC外接球的球心为O，半径为R，由AC⊥平面PAB，得R2＝r2＋2＝10＋9＝19.所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR2＝76π. 5．已知正三棱锥A-BCD的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为(　 ) A．π B. C．3π D．6π 解析：选B　如图1，连接A与底面△BCD的中心O，则AO⊥平面BCD.由题意知∠ADO是侧棱与底面所成的角，则tan∠ADO＝＝.又因为AO2＋OD2＝AD2＝3，所以DO＝1.因为底面△BCD为正三角形，中心为O，所以DO＝BD，即BD＝.所以正三棱锥A－BCD为正四面体．将正四面体放到正方体中， 如图2，正方体的内切球与正四面体的六条棱均相切，可求得正方体的棱长为，所求棱切球的半径即为.所以此正三棱锥的棱切球的表面积S＝4πr2＝4π×＝. 6．(2023·浙江统考模拟预测)在四面体ABCD中，△ABC与△BCD都是边长为6的等边三角形，且二面角A-BC-D的大小为60°，则四面体ABCD外接球的表面积是(　 ) A．52π B．54π C．56π D．60π 解析：选A　如图所示，取BC的中点O，连接OD，OA，分别取△BCD和△ABC的外心E与F，过两点分别作平面BDC和平面ABC的垂线，交于点P，则P就是外接球的球心．连接OP，DP，则∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，即∠AOD＝60°，则△AOD是等边三角形，其边长为6×＝3，OE＝OD＝×3＝.在Rt△POE中，∠POE＝30°，所以PE＝OEtan 30°＝×＝1.又由DE＝O