第三板块 大题增分练(一) 空间向量与空间角、距离（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第三板块 大题增分练（一） 空间向量与空间角、距离 1.(2023·聊城模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AA1的中点，E是CD的中点，点F在A1B上，且A1F＝3FB. (1)证明：EF∥平面ABC； (2)若AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，求平面DEF与平面EFC1夹角的余弦值． 解：(1)证明：如图，取AD的中点G，连接GE，GF，由D是AA1的中点，得A1G＝3GA， 因为A1F＝3FB，则＝＝3，从而GF∥AB.又GF平面ABC，AB平面ABC，即有GF∥平面ABC.因为G，E分别为AD，CD的中点，则GE∥AC， 又GE平面ABC，AC平面ABC，即有GE∥平面ABC.又GE∩GF＝G，GE，GF平面GEF，因此平面GEF∥平面ABC，因为EF平面GEF，所以EF∥平面ABC. (2)如图，以A为坐标原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则D，E，F，C1(0,1,1)，从而＝，＝，＝.设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)，则取x＝2，则y＝3，z＝6，得平面DEF的一个法向量为m＝(2,3,6)；设平面EFC1的法向量为n＝(a，b，c)，则 取a＝2，则b＝3，c＝－2，得平面EFC1的一个法向量为n＝(2,3，－2)， 则cos〈m，n〉＝＝＝，故平面DEF与平面EFC1夹角的余弦值为. 2.(2023·合肥二模)如图，三棱台ABC-A1B1C1，AB⊥BC，AC⊥BB1，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝6，BC＝4, BB1＝2，AC1与A1C相交于点D，＝2，且DE∥平面BCC1B1. (1)求三棱锥C-A1B1C1的体积； (2)平面A1B1C与平面ABC所成的角为α，CC1与平面A1B1C所成的角为β，求证：α＋β＝. 解：(1)∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC平面ABC，∴BC⊥平面ABB1A1.∵BB1平面ABB1A1， ∴BC⊥BB1.又AC⊥BB1，BC∩AC＝C，BC，AC平面ABC，∴BB1⊥平面ABC. 连接C1B，∵DE∥平面BCC1B1，DE平面ABC1，平面ABC1∩平面BCC1B1＝C1B，∴DE∥C1B.∵＝2，∴＝2.∴A1C1＝AC. ∴在三棱锥C-A1B1C1中，底面△A1B1C1的面积S1＝×2×3＝3，高h＝BB1＝2，∴其体积为V＝S1h＝×3×2＝2. (2)证明：由题意及(1)得，以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．A(6,0,0)，C(0,4,0)，B1(0,0,2)，A1(3,0,2)，C1(0,2,2)，则＝(3,0,0)，＝(0,4，－2)，＝(0，－2,2)．设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)，由取y＝1，则n＝(0,1,2)．易知平面ABC的一个法向量为＝(0,0,2)，∴cos α＝＝＝.sin β＝＝＝. 又∵α，β∈，∴sin α＝，cos β＝. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝. 3.(2023·红河二模)如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直． (1)若M为线段BF上的一个动点，证明：CM∥平面ADE； (2)若∠BAD＝60°，AB＝2，直线CF与平面BCE所成角的正弦值为，求点F到平面BCE的距离． 解：(1)证明：由题知，四边形BDEF为矩形，所以BF∥DE.又因为BF平面ADE，DE平面ADE，所以BF∥平面ADE，同理可证BC∥平面ADE.又因为BC∩BF＝B，BC，BF平面BCF，所以平面BCF∥平面ADE.又因为M为线段BF上的一个动点，所以CM平面BCF，所以CM∥平面ADE. (2)因为平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD，DE⊥DB， DE平面BDEF，所以DE⊥平面ABCD.又因为底面ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，AB＝2，所以△ABD为等边三角形，且AB＝BD＝2.设BF＝a，取AB的中点为G，连接DG，以D为坐标原点，以的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(，1,0)，C(0,2,0)，E(0,0，a)，F(，1，a)，则＝(，－1，a)，＝(－，1,0)，＝(0，－2，a)，设平面BCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1， 则y＝，z＝，即n＝.设直线CF与平面BCE所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，化简可得a4－13a2＋12＝0，解得a＝2或a＝1.设点F到平面BCE的距离为d， 当a＝