第三板块 大题增分练(二) 空间中的翻折与探索性问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第三板块 大题增分练（二） 空间中的翻折与探索性问题 1.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，点E，F是PC，AD的中点． (1)若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长； (2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由． 解：(1)因为AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB∥平面PCD.又AB平面ABE， 设平面ABE∩平面PCD＝l，则AB∥l. 设PD的中点为G，连接EG，AG，则EG∥CD.又AB∥CD，所以AB∥EG，即EG为l，BE，EG，AG就是应画的线． 因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD, 所以AB⊥PA.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD， 所以AB⊥平面PAD.又AG平面PAD，所以AB⊥AG，即截面ABEG为直角梯形． 又PA＝AB＝2，所以AG＝，EG＝1， BE＝＝， 所以截面周长为＋＋3. (2)以点A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)，F(0,1,0)， 所以＝(－1,1,1)，＝(－2,1,0)，＝(0,2，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，可得n＝(1,2，－1)． 设PD∩平面BEF＝H，设＝λ＝λ(0,2，－2)，又P(0,0,2)， 所以H(0,2λ，2－2λ)，＝(－2,2λ，2－2λ)． 由·n＝(－2,2λ，2－2λ)·(1,2，－1)＝0， 可得6λ－4＝0，即λ＝. 即H为PD的三等分点，连接EH，FH，即EH，FH就是应画的线． 2．(2023·汉中统考二模)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，以AE 为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置(P平面ABCE)． (1)求证：AE⊥PB； (2)若把△ADE折起到当平面PAE⊥平面ABCE时，求二面角A-PE-C的余弦值． 解：(1)证明：连接BD，BE，设AE∩BD＝O.由题意可得，AB∥ED，AB＝AD＝BC＝DE＝CE＝CD＝1，∴四边形ADEB为菱形，则BD⊥AE.折叠后OP⊥AE，OB⊥AE, OP∩OB＝O，OP，OB平面POB， ∴AE⊥平面POB，又PB平面POB，故AE⊥PB. (2)若平面PAE⊥平面ABCE，由OP⊥AE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，OP平面PAE， 可得PO⊥平面ABCE. 以O为原点，直线OE为x轴，直线OB为y轴，直线OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则P，E，C， 可得＝，＝， 设平面PCE的法向量为n1＝(x，y，z)， 则 令x＝，则y＝－1，z＝1，得n1＝(，－1,1)， 易知＝n2＝为平面PAE的一个法向量． 设平面PAE与平面CPE的夹角为α，则cos α＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，由图观察知，二面角A-PE-C是钝角，故二面角A-PE-C的余弦值为－. 3.(2023·万州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的菱形，AB＝BC＝，点D为棱AC上的动点(不与A，C重合)，平面B1BD与棱A1C1交于点E. (1)求证：BB1∥DE； (2)若平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，判断是否存在点D使得平面A1ABB1与平面B1BDE所成的锐二面角为，并说明理由． 解：(1)证明：∵BB1∥CC1，且BB1平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1， ∴BB1∥平面ACC1A1.又∵BB1平面B1BD，且平面B1BD∩平面ACC1A1＝DE，∴BB1∥DE. (2)连接A1C，取AC的中点O，连接A1O，BO，在菱形ACC1A1中，∠A1AC＝60°，∴△A1AC是等边三角形． 又∵O为AC的中点，∴A1O⊥AC. ∵平面ABC⊥平面ACC1A1， 平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，A1O平面ACC1A1， ∴A1O⊥平面ABC，又OB平面ABC，∴A1O⊥OB. 又∵AB＝BC，∴BO⊥AC. 以点O为原点，OB，OC，OA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 假设存在点D，满足题意，设D(0，a,0)(－2<a<2)， O(0,0,0)，A(0，－2,0)，A1(0,0,2)，B(3,0,0)， ＝