第六板块 小题保分练(三) 导数的简单应用（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第六板块 小题保分练（三） 导数的简单应用 1．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　 ) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析：选C　由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋，故选C. 2．[多选]已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　 ) A．f(x1)<f(x2) B．f(x3)<f(x2) C．f(x)在区间(a，b)内有2个极值点 D．f(x)的图象在点x＝0处的切线的斜率大于0 解析：选ACD　由题图可知，当x∈(a，x3)∪(x5，b)时，f′(x)>0；当x∈(x3，x5)时，f′(x)<0. ∴f(x)在(a，x3)，(x5，b)上单调递增；在(x3，x5)上单调递减． ∵x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，A正确； ∵x2<x3，∴f(x2)<f(x3)，B错误； 由极值点定义可知，x＝x3为f(x)的极大值点；x＝x5为f(x)的极小值点，即f(x)在区间(a，b)内有2个极值点，C正确； 当x＝0时，f′(x)>0，∴f(x)在点x＝0处的切线的斜率大于0，D正确． 3．已知函数f(x)＝ln x＋ax存在最大值0，则a的值为(　 ) A．－2 B．－ C．1 D．e 解析：选B　因为f′(x)＝＋a，x>0， 所以当a≥0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值； 当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－. 所以当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以f(x)max＝f＝ln－1＝0，解得a＝－. 4．(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3,0) 解析：选B　由题意知f′(x)＝3x2＋a，要使函数f(x)存在3个零点，则f′(x)＝0要有2个不同的根，则a<0.令3x2＋a＝0，解得x＝± . 令f′(x)>0，则x<－或x>，令f′(x)<0，则－<x< .所以f(x)在和上单调递增，在上单调递减，所以要使f(x)存在3个零点， 则即解得>1，即a<－3.故选B. 5．(2023·郑州高三期末)若函数f(x)＝(2a－x)ln x在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C．(－∞，0] D. 解析：选D　依题意，f′(x)＝－ln x－1，令f′(x)≤0，则2a≤x(ln x＋1)． 令h(x)＝x(ln x＋1)，则h′(x)＝ln x＋2. 令h′(x)＝0，则x＝，故当x∈时，h′(x)<0， 当x∈时，h′(x)>0，故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故h(x)min＝h＝－，故2a≤－，则a≤－， 故实数a的取值范围为. 6．函数f(x)＝2sin x－sin 2x是(　 ) A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 解析：选C　因为f(x)定义域为R，且f(－x)＝2sin(－x)－sin(－2x)＝－2sin x＋sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 又f′(x)＝2cos x－2cos 2x＝－4cos2x＋2cos x＋2＝－2(cos x－1)(2cos x＋1)， 令f′(x)＝0，得cos x＝1或cos x＝－，即x＝2kπ或x＝2kπ±(k∈Z)， 所以当cos x∈时，f′(x)≥0，即x∈，k∈Z时，f(x)为增函数， 当cos x∈时，f′(x)<0, 即x∈，k∈Z时，f(x)为减函数． 所以f(x)max＝f＝. 综上，f(x)为奇函数，最大值为，故选C. 7．已知直线l与曲线C1：y＝ln x＋4和曲线C2：y＝ln(x＋1)都相切，则直线l在y轴上的截距为(　 ) A．1－ln 2 B．3－2ln 2 C．1－ln 2或3－2ln 2 D．4 解析：选B　设f(x)＝ln x＋4，g(x)＝ln(x＋1)，则f′(x)＝，g′(x)＝. 设f(x)上的切点为(x1，y1)，g(x)上的切点为(x2，y2)，则k＝＝，则x2＋1＝x1. 又y1＝ln x1＋4，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1，所以切线的斜率为k＝＝4. 故x1＝＝，y1＝ln＋4＝4－2ln 2. 故截距b＝y1－kx1＝4－2ln 2－1＝3－2ln 2. 8．已知a＝＋1，b＝1.01e，c＝e1.01，则(　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D