第六板块 大题增分练(一) 导数与不等式的证明（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第六板块 大题增分练（一） 导数与不等式的证明 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋. 解：(1)f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a>0时，令f′(x)>0，得x＞－ln a，令f′(x)＜0，得x＜－ln a， 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a. 令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)， 所以g′(a)＝2a－. 令g′(a)＞0，得a＞； 令g′(a)＜0，得0＜a＜. 所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增． 所以函数g(a)的最小值为g＝2－ln －＝ln ＞0， 所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋成立． 2．已知函数f(x)＝ex－x－1. (1)证明：f(x)≥0； (2)当m≤1时，证明：不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立． 证明：(1)f′(x)＝ex－1， 当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减， f(x)≥f(x)min＝f(0)＝0， 故ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时取等号， ∴f(x)≥0. (2)令g(x)＝ex－mx＋cos x－2， 则g′(x)＝ex－m－sin x. 由(1)可得ex－x－1≥0，即ex≥x＋1. 又m≤1，所以g′(x)≥x＋1－1－sin x＝x－sin x. 令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x， 当x≥0时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增． 所以当x∈[0，＋∞)时，h(x)≥h(0)＝0，则g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)上单调递增． 所以当x∈[0，＋∞)时，g(x)≥g(0)＝0，即ex－mx＋cos x－2≥0. 所以当m≤1时，不等式ex－mx＋cos x－2≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立． 3．(2023·许昌二模)已知函数f(x)＝xln x. (1)若直线y＝2x＋m与曲线y＝f(x)相切，求m的值； (2)证明：－≤f(x)<(参考数据：e4>54)． 解：(1)由题意，f′(x)＝1＋ln x，由f′(x)＝1＋ln x＝2，得x＝e， 则f(e)＝e＝2e＋m，解得m＝－e. (2)证明：因为f′(x)＝1＋ln x，x>0， 由f′(x)<0，得0<x<，f(x)在上单调递减； 由f′(x)>0，得x>，f(x)在上单调递增， 所以f(x)≥f＝－. 又f(x)<等价于<. 令g(x)＝，则g′(x)＝. 当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)max＝g(e)＝. 令h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝. 当0<x<3时， h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x>3时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min＝h(3)＝. 因为e4>54，所以－＝>0， 所以g(x)max<h(x)min， 所以<，从而f(x)<得证．故－≤f(x)<. 4．已知函数f(x)＝xln x－a(x－1)． (1)若f(x)≥0，求实数a的值； (2)已知n∈N*且n≥2，求证：sin＋sin＋…＋sin<ln n. 解：(1)由f(x)≥0，得ln x－a≥0. 令h(x)＝ln x－a，则h(x)≥0，h′(x)＝－＝. 注意到h(1)＝0，所以x＝1是函数h(x)的极小值点，则h′(1)＝0，所以h′(1)＝＝0，得a＝1. 当a＝1时，h′(x)＝，则函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)≥h(1)＝0，满足条件，故a＝1. (2)证明：由(1)可得，ln x＞1－(x＞1)． 令＝1－，则x＝，所以ln＞，即＜ln k－ln(k－1)，k∈{2,3，…，n}． 令g(x)＝x－sin x(x>0)，则g′(x)＝1－cos x≥0，且g′(x)不恒为零， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故g(x)>g(0)＝0，则sin x<x(x>0)， 所以sin<＜ln k－ln(k－1)，k∈{2,3，…，n}，