第六板块 大题增分练(四) 极值点偏移问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第六板块大题增分练（四)极值点偏移问题 1.已知x)=e-x,x0,a∈R (1)若fx)≥0恒成立，求a的最大值： (2)若1，是fx)的两个零点，且x1,求证：十2>2a 解：(I)当x>0时，x=e-xa≥0e≥xax≥anxx-alnx≥0. 设g)=x一alnx,则fx)≥0恒成立gx)≥0恒成立， 易知a=0符合要求，下面考虑a0的情形， 由g'=1-ax=x-ax,得0x<a时，g'c)0:xa时，g(x)P0, 因此，gx)在区间(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上单调递增，故g(x)的最小值为g(a =a-aln a, 由g(a)=a-alna≥0，得na≤1，解得0<a≤e, 所以a的最大值为e (2)证明：由(1)知，，2是fx)的两个零，点，结合g()的单调性可知，0< 若灯≥2a,则x1十x2>2a显然成立. 若ax12a,设hx)=g(2a-x)-gr)(a2a),则x)=2a-x-aln(2a-x)一x+alnx,h '(e)=-2+a2a-x+ax=2x-a2x2a-x>0, 所以hx)在区间(a,2a)上单调递增，因此有hxPh(a)=0 因此，h)=g(2a-x1)-gP0,g(2a-x1Pg)=g2)=0, 又02a-x1a,0a,且gx)在区间(0，a)上单调递减， 所以2a-2,即前十>2a 综上，十x22a 2.(2023升东一模)已知函数x)=e-xnx十x2一a (1)证明：若a≤e+1,则x)≥0： (2)证明：若x)有两个零点1，，则x1<1 证明：(1)因为fx)定义城为(0，+∞)，所以fx)≥0等价于exx一nx+x一a≥0. 设gx)=exx-hx+x-a,则g'(=ex十xx-1x2, 当0<1时，g'(x)0,当x>1时，g'(>0, 所以gx)在(0,1)单调递减，gx)在(1，+)单调递增，故gx)≥g(1)=e十1一a 因为a≤e十1，所以gx)≥0，于是x)≥0 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (2)不纺设2，由(1)可知，2也是gx)的两个零点，且01<1，>1，于是0 <1x2<1,由于g)在(0,1)单调递减，故xx<1等价于g)Pg\a\vs4a1co1(f(1x2).又g (1)=g2)=0, 故x2<1等价于gx)户g\a\vs4\al\col(f(1x2)① 设he)=g)-g\a\vs4\alco1f(1x),则①式为hx2P0 h'()=g')-g'\a\vs4\al\col(\f(1x))\a\vs4\al\col(\f(1x))' =rew-l/x2. 设r)=e十x一xe1x-l, 当x>1时，k'(x)=e一ex+1xe1x+1>0,故kx)在(1，十o∞)单调递增. 所以)>1)=0，从而h'(x>0,因此x)在(1，+∞)单调递增.又>1，故h (2)>h(1)=0,故g)Pg\a\vs4\a1八co1(f(1x2),于是<1. 3.已知函数x)=lnx-ax十1(a∈R且a≠0). (1)若函数x)的最小值为2，求a的值： (2)在(1)的条件下，若关于x的方程x)=m有两个不同的实数根，，且x2,求证： 0十x2>2 解：(1)因为x)=lnx-ax+1,0, 所以f(c)=1x+ax2=x+a2,x>0 当a>0时，有(x)>0,所以函数x)在(0，十∞)上单调递增，所以函数)不存在最小 值： 所以a>0不合题意，故a0 当a<0时，令(x)=x十ax2=0,得x=一a 当x∈(0，一a)时，f(x)0,函数fx)在(0，一a)上单调递减： 当x∈（一a,+∞）时，f(x>0,函数fx)在（一a,+o)上单调递增。 所以rmm=f)挺小植=f-a）=n(-a)-a一a十1=2，解得a=-1. (2)证明：法一：由(1)知，x)=nx十1x+1,0 因为，x2为方程x)=m的两个不同的实数根， 所以n灼十1x1+1=m①，n2十1x2+1=m② ①-②，得ln-ln+alvs4al小col(f1lx2)=0,即nxlx2=-aws4 al\col(fIlx2)= x1-x2x1x2, ◆独家授权侵权必究年 享学科网书城国 品牌书店，知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以x2=xI一x2xlx2. 令1=x1x2(0K1),有x1=xl-x2xlx2=t-11nt, 所以为2=x1t=1flnt,从而得十=1nt 令ht0=t-1t-2n0<tK1), 则h'(0=1+1t2-2t=\a\vs4\alco1(f(1t)-1)20, 所以函数h(0在(0,1)上单调递增，即te(0,1),(0<h1)=0, 即t-1t<2lnt