第六板块 大题增分练(三) 导数与函数的零点问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第六板块 大题增分练（三） 导数与函数的零点问题 1．已知函数f(x)＝ax2＋ln x－(a＋1)x. (1)当a＝－4时，求f(x)的单调区间与极值； (2)当a≥1时，证明：f(x)只有一个零点． 解：(1)当a＝－4时，f(x)＝－2x2＋ln x＋3x，x∈(0，＋∞)， f′(x)＝－4x＋＋3＝＝，x∈(0，＋∞)． 由f′(x)>0，得0<x<1，由f′(x)<0，得x>1， ∴f(x)在(0,1)上单调递增，(1，＋∞)上单调递减． ∴f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝1，无极小值． (2)证明：∵f(x)＝ax2＋ln x－(a＋1)x，x∈(0，＋∞)， ∴f′(x)＝ax＋－(a＋1)＝＝，x∈(0，＋∞)． 由f′(x)＝0，a≥1，得x＝或x＝1. ①当a＝1时，f′(x)≥0， f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵f(1)＝－<0，f(4)＝ln 4>0， ∴f(1)·f(4)<0，故f(x)在(1,4)上有唯一零点． ②当a>1时，由f′(x)>0，得x<或x>1， ∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∵f＝－－ln a－1<0，f(4)＝4a－4＋ln 4>0， ∴f·f(4)<0，故f(x)在上有唯一零点． 综上，当a≥1时，f(x)只有一个零点． 2．已知函数f(x)＝ex－ax＋e2. (1)当a＝2时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f′(x)＝ex－2. 由f′(x)>0，得x>ln 2；由f′(x)<0，得x<ln 2， 故f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减，在[ln 2，＋∞)上单调递增． (2)f′(x)＝ex－a， 当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，此时f(x)不可能存在两个不同的零点； 当a>0时，由f′(x)>0，得x>ln a；由f′(x)<0，得x<ln a， 故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在[ln a，＋∞)上单调递增． 当x趋于负无穷时，f(x)趋于正无穷；当x趋于正无穷时，f(x)趋于正无穷； 若f(x)有两个不同零点，则f(x)min＝f(ln a)<0，即a－aln a＋e2<0.令g(a)＝a－aln a＋e2则g′(a)＝1－ln a－1＝－ln a. 当0<a<1时，g′(a)>0，g(a)单调递增，g(a)＝a(1－ln a)＋e2>0， 当a>1时，g′(a)<0，g(a)单调递减，g(e2)＝0. 故当a>e2时，g(a)<0. 综上，a的取值范围为(e2，＋∞)． 3．已知函数f(x)＝sin x－在点(0，f(0))处的切线l与直线n：x－y＝0垂直． (1)求切线l的方程； (2)判断f(x)在(0，π)上零点的个数，并说明理由． 解：(1)因为f′(x)＝cos x－， 所以切线的斜率k＝f′(0)＝－a，由题意k×1＝－a×1＝－1，解得a＝1. 所以f(x)＝sin x－， 所以f(0)＝sin 0－＝1， 所以切线l的方程为y－1＝－1(x－0)， 即x＋y－1＝0. (2)由(1)知f(x)＝sin x－， 由f(x)＝0，得ex·sin x－x＋1＝0. 令g(x)＝ex·sin x－x＋1，x∈(0，π)， 所以g′(x)＝(sin x＋cos x)ex－1， ①当x∈时，sin x＋cos x≥1，ex>1， 所以g′(x)>0， 所以g(x)在x∈上单调递增． 又因为g(0)＝1>0， 所以g(x)在x∈上无零点． ②当x∈时，令h(x)＝(sin x＋cos x)ex－1，所以h′(x)＝2cos x·ex<0， 即h(x)在x∈上单调递减． 又因为h＝e－1>0，h(π)＝－eπ－1<0， 所以存在x0∈，使得h(x0)＝0. 所以g(x)在x∈上单调递增，在x∈(x0，π)上单调递减． 因为g(x0)>g＝e－＋1>0， g(π)＝－π＋1<0， 所以g(x)在x∈(x0，π)上有且只有一个零点． 综上所述，f(x)在(0，π)上有且只有一个零点． 4．(2023·济宁一模)已知函数f(x)＝(x－3)ex－(x2－4x)． (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)当0<a<2时，讨论函数f(x)的零点个数． 解：(1)当a＝1时，f′(x)＝(x－2)ex－e(x－2)＝(x－2)(ex－e)， 当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)． (2)f′(x)＝(x－2)ex－ea(x－2)＝(x－2)(ex－ea)， 令f′(x)＝0，