第六板块 大题增分练(二) 导数与不等式的恒(能)成立问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第六板块 大题增分练（二） 导数与不等式的恒(能)成立问题 1．设函数f(x)＝ex－ax，x≥0且a∈R. (1)求函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≥x2＋1恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝ex－a，x≥0. 当a≤1时，f′(x)≥0恒成立，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，x∈[0，ln a]时，f′(x)≤0，则f(x)在[0，ln a]上单调递减； x∈[ln a，＋∞)时，f′(x)≥0，则f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤1时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在[0，ln a]上单调递减，在[ln a，＋∞)上单调递增． (2)当x≥0时，ex－ax≥x2＋1恒成立，则 当x＝0时，1≥1，显然成立，符合题意； 当x>0时，得a≤恒成立， 即a≤min，记g(x)＝，x>0， 则g′(x)＝， 构造函数y＝ex－x－1，x>0，则y′＝ex－1>0，故y＝ex－x－1为增函数， 则ex－x－1>e0－0－1＝0. 故ex－x－1>0对任意x>0恒成立，则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝e－2. 所以a≤e－2，即实数a的取值范围是(－∞，e－2]． 2．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝8时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)<sin 2x，求a的取值范围． 解：(1)当a＝8时，f(x)＝8x－， f′(x)＝8－ ＝8＋－. 令＝t，则t∈(1，＋∞)， 令h(t)＝－3t2＋2t＋8＝－(3t＋4)(t－2)， 当t∈(1,2)时，h(t)>0； 当t∈(2，＋∞)时，h(t)<0. 故当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减． ∴f(x)在区间上单调递增， 在区间上单调递减． (2)令g(x)＝f(x)－sin 2x＝ax－－sin 2x， 则g′(x)＝a－－2cos 2x ＝a－－4cos2x＋2 ＝a－， 令u＝cos2x，则u∈(0,1)， 令k(u)＝＋4u－2， 则k′(u)＝＋4＝. 当u∈(0,1)时，k′(u)<0， ∴k(u)在(0,1)上单调递减． ∵k(1)＝3，∴当u∈(0,1)时，k(u)>3， ∴k(u)的值域为(3，＋∞)． ①当a≤3时，g′(x)<0，∴g(x)在上单调递减． 又g(0)＝0，∴当x∈时，g(x)<0， 即f(x)<sin 2x. ②当a>3时，x0∈使得g′(x0)＝0， ∴g(x)在(0，x0)上单调递增，在上单调递减． ∴g(x0)>g(0)＝0，∴f(x)<sin 2x不成立． 综上所述，a的取值范围为(－∞，3]． 3．已知函数f(x)＝aln x＋x＋(a≠0)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设g(x)＝2x2－mex＋＋(e＝2.718…为自然对数的底数)，当a＝－时，对任意x1∈[1,4]，存在x2∈[1，e]，使g(x1)≤f(x2)，求实数m的取值范围． 解：(1)函数f(x)＝aln x＋x＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝＋－＝. 因为a≠0，所以当a>0时，由f′(x)<0得0<x<2a，由f′(x)>0得x>2a. 当a<0时，由f′(x)<0得0<x<－6a，由f′(x)>0得x>－6a. 综上，当a＞0时，函数f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a，＋∞)上单调递增； 当a＜0时，函数f(x)在(0，－6a)上单调递减，在(－6a，＋∞)上单调递增． (2)当a＝－时，由(1)知，函数f(x)在[1，e]上单调递减，而x2∈[1，e]，则f(x2)max＝f(1)＝＋. 任意x1∈[1,4]，存在x2∈[1，e]，使g(x1)≤f(x2)等价于x1∈[1,4]，g(x1)≤＋恒成立， 则有任意x1∈[1,4]，2x－mex1≤0m≥恒成立．令h(x)＝，1≤x≤4， 则h′(x)＝＝－.当1<x<2时，h′(x)>0，当2<x<4时，h′(x)<0， 即有h(x)在[1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减，h(x)max＝h(2)＝， 因此当x1∈[1,4]时，的最大值为，则m≥，所以实数m的取值范围是. 4．已知函数f(x)＝cos2x＋a(x2－1)，g(x)＝1－cos x. (1)当a＝0时，求f(x)图象在处的切线方程； (2)当a>1时，求f(x)的极值； (3)若x∈，f′(x)为函数f(x)的导数，f′≥g(x)恒成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝cos2x， f′(x)＝－2cos xsin x＝－sin 2x， 故k