第二板块 小题保分练(二) 数列的综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第二板块 小题保分练（二） 数列的综合问题 1．(2023·长郡中学模拟)若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{bn－1}为“梦想数列”，且b1＝2，则bn＝(　 ) A．bn＝2×3n B．bn＝2×3n－1 C．bn＝2×3n＋1 D．bn＝2×3n－1＋1 解析：选B　∵“梦想数列”{an}满足an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，∴由正项数列{bn－1}为“梦想数列”，可得bn＋1－1＋1＝3(bn－1＋1)，即bn＋1＝3×bn.∵b1＝2，∴bn＝2×3n－1，故选B. 2．(2023·淮南一模)斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列{an}可以用如下方法定义：an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}，则数列{bn}的前2 023项的和为(　 ) A．2 023 B．2 024 C．2 696 D．2 697 解析：选D　因为an＋2＝an＋1＋an，且a1＝a2＝1，所以数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，….此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…，是以6为周期的周期数列，所以数列{bn}的前2 023项的和S2 023＝(1＋1＋2＋3＋1＋0)＋b1＋337×6＝337×8＋1＝2 697，故选D. 3．已知数列{an}满足an＝an＋1－n＋1，且a1＝，若an<，则n的最小值为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B　由数列{an}满足an＝an＋1－n＋1，得an＋1－an＝n＋1，两边同时除以n＋1可得－＝1.又a1＝，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n·n.令an<，即n·n<，当n＝1,2,3时，an>；当n＝4时，4×＝<.故选B. 4．(2023·揭阳联考)已知数列{an}满足a2＝，a1＝1，且a－a＝2an－2an－1＋1(n≥2)，则a－2a2 022的值为(　 ) A．2 021 B．2 022 C．2 023 D．2 024 解析：选B　由a－a＝2an－2an－1＋1(n≥2)得，(a－2an)－(a－2an－1)＝1，且由a2＝，a1＝1，得a－2a1＝1，所以{a－2an}构成以1为首项，1为公差的等差数列．所以a－2an＝n，所以a－2a2 022＝2 022. 5．(2023·安阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2且an＋2－an＝1－(－1)n(n∈N*)，S100＝(　 ) A．0 B．1 300 C．2 600 D．2 650 解析：选C　当n为奇数，即n＝2k－1(k∈N*)时，设an＝a2k－1＝bk，an＋2－an＝1＋1＝2，an＋2＝an＋2，则bk＋1＝bk＋2，所以数列{bk}是以1为首项，2为公差的等差数列，则bk＝2k－1，故an＝2·－1＝n；当n为偶数，即n＝2k(k∈N*)时，设an＝a2k＝ck，an＋2－an＝1－1＝0，an＋2＝an，则ck＋1＝ck，显然数列{ck}为常数列，则ck＝2，即an＝2.所以S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(1＋3＋5＋…＋99)＋(2＋2＋2＋…＋2)＝＋2×50＝2 600. 6．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝3n－1(n∈N*)．则{an}的前60项的和为(　 ) A．1 240 B．1 830 C．2 520 D．2 760 解析：选D　由an＋1＋(－1)n·an＝3n－1，得a2－a1＝2，a3＋a2＝5，a4－a3＝8，a5＋a4＝11，….故a1＋a3＝3，a5＋a7＝3，a9＋a11＝3，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；a2＋a4＝13，a6＋a8＝37，a10＋a12＝61，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，24为公差的等差数列．故S60＝3×15＋13×15＋×24＝2 760. 7．[多选]十二平均律是我国明代律学家朱载堉发现的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律可以用数学语言表述为：在1和2之间从小到大插入11个数，使包含1和2的这13个数依次构成递增的等比数列．记插入的11个数之和为M，则依此规则，下列结论正确的是(　 ) A．M>11 B．该等比数列的公比为 C．插入的第