第二板块 大题增分练(一) 数列的运算及求和（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第二板块 大题增分练（一） 数列的运算及求和 1．已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋1. (1)证明为常数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bm为数列{an}落在区间(3m,3m＋1)，m∈N*内的项的个数，求数列{bm}的前m项和． 解：(1)证明：因为nan＋1＝(n＋1)an＋1，所以＝＋＝＋－，即＝.所以为常数列．又＝3，所以＝3，即an＝3n－1. (2)由题意，得3m<3n－1<3m＋1，所以<n<.所以3m－1＋1≤n≤3m，故bm＝3m－3m－1＝2·3m－1.所以数列{bm}是首项为2，公比为3的等比数列．所以{bm}的前m项和为＝3m－1. 2．(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1,2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1， 所以a1＝0. 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 当n＝2时，可得a1＝0， 故当n≥3时，＝，则··…·＝··…·， 整理得＝n－1，因为a2＝1， 所以an＝n－1(n≥3)． 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. (2)令bn＝＝， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋＋…＋＋①， Tn＝＋＋…＋＋②， 由①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－，即Tn＝2－. 3．(2023·太原一模)已知等差数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}的前n项和，且{}也是等差数列． (1)求an； (2)设bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d， 因为{}为等差数列，所以2＝＋，即2＝1＋，整理可得d＋4＝2，可得(d－2)2＝0，解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)由(1)得Sn＝＝＝n2. 所以bn＝＝＝×＝＋×， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＝＋＝＋＝. 4．已知数列{an}，a2＝3，其前n项和Sn满足nan＋n＝2Sn(n∈N*)． (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)若bn＝2ancos(n2π)，求数列{bn}的前20项和S20. 解：(1)证明：因为nan＋n＝2Sn，所以2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋n＋1，两式相减可得2an＋1＝(n＋1)·an＋1－nan＋1，即nan－1＝(n－1)an＋1. 所以(n＋1)an＋1－1＝nan＋2， 两式相减可得(n＋1)an＋1－nan＝nan＋2－(n－1)·an＋1，化简可得2nan＋1＝n(an＋2＋an)．所以2an＋1＝an＋2＋an.所以数列{an}为等差数列． (2)由nan＋n＝2Sn，可得a1＋1＝2S1，解得a1＝1.由(1)知，数列{an}为等差数列，因为a2＝3，所以d＝a2－a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 所以bn＝2ancos(n2π)＝22n－1·cos(n2π)． 所以数列{bn}的前20项和S20＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b19＋b20＝21·cos π＋23·cos 4π＋25·cos 9π＋27·cos 16π＋…＋237·cos 361π＋239·cos 400π＝－21＋23－25＋27－29＋…＋235－237＋239＝＝×(240－1)． 5．在数列{an}中，an＝ (1)求a1，a2，a3； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)因为an＝所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，a3＝2×3－1＝5. (2)因为an＝所以a1，a3，a5是以1为首项，4为公差的等差数列，a2，a4，a6是以4为首项，4为公比的等比数列． 当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项． 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1) ＝×1＋×4＋＝＋；当n为偶数时，数列{an}的前n项中有个奇数项，有个偶数项． 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an) ＝×1＋×4＋＝＋.所以Sn＝ 6．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4且当n≥2时，3Sn－1,2Sn，Sn＋1＋2n成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3