第二板块 大题增分练(二) 数列中的最值、范围及创新问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第二板块 大题增分练（二） 数列中的最值、范围及创新问题 1．将数列{an}按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为数列{an}的一个分群数列，{an}称为这个分群数列的原数列．如(a1，a2，…，ar)，(ar＋1，ar＋2，…，at)，(at＋1，at＋2，…，as)，…，(am＋1，am＋2，…，an)，…是数列{an}的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知数列{an}的通项公式为an＝2n. (1)若数列{an}的一个分群数列每个群都含有3项，该分群数列第k群的最后一项为bk，求数列{bn}的通项公式． (2)若数列{an}的一个分群数列满足第k群含有k项，Ak为{an}的该分群数列第k群所有项构成的数集，设M＝{m|am∈Ak，am＋6∈Ak＋2}，求集合M中所有元素的和． 解：(1)由题意，该分群数列第k群的最后一项bk＝a3k，由an＝2n，得bn＝a3n＝6n.所以数列{bn}的通项公式为bn＝6n. (2)由题意，该分群数列第k群含有k项，所以该分群数列的前6群为 (a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)，(a11，a12，a13，a14，a15)，(a16，a17，a18，a19，a20，a21)． 又am∈Ak，am＋6∈Ak＋2，显然有k≤4. 当m＝2,3,5,6,10时满足am∈Ak，am＋6∈Ak＋2，即M＝{2,3,5,6,10}． 所以集合M中所有元素之和为2＋3＋5＋6＋10＝26. 2．给定一个数列{an}，在这个数列中，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列． (1)求a的值； (2)设等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b1＝(k为常数，k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1. 解：(1)因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6.又因为a2＝，a3＝，a6＝，所以－＝－，解得a＝0. (2)证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d.因为b1＝，所以b2≤，从而d＝b2－b1≤－＝－.所以bm＝b1＋(m－1)d≤－.又因为bm＞0，所以－＞0.即m－1＜k＋1，所以m＜k＋2.又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1. 3.如图，已知△ABC的面积为1，点D，E，F分别为线段AB，AC，BC的中点，记△DEF的面积为a1；点G，H，I分别为线段AD，AE，DE的中点，记△GHI的面积为a2；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为an. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝log2an，求数列{(－1)nbn}的前n项和Sn. 解：(1)由题意可知a1＝S△DEF＝S△ABC＝，a2＝S△GHI＝S△DEF＝×＝，…，由此可知an＋1＝an，故{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝×n－1＝n. (2)由an＝n得bn＝log2an＝log2n＝－2n.所以(－1)nbn＝(－1)n＋12n. 当n为偶数时，Sn＝－b1＋b2－b3＋b4＋…－bn－1＋bn＝2－4＋6－8＋…＋2(n－1)－2n＝(2－4)＋(6－8)＋…＋[2(n－1)－2n]＝－2×＝－n； 当n为奇数时，Sn＝－b1＋b2－b3＋b4＋…＋bn－1－bn＝Sn－1＋2n＝－(n－1)＋2n＝n＋1， 故Sn＝ 4．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公比不为1)，{bn}的前n项和Tn，且a1＝b1＝3，a4＝b2，a1a5＝T3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，{cn}的前n项和为Mn.对于任意正整数n，当Mn<m恒成立时，求m的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 由已知可得且q≠1， 解得 所以{an}的通项公式为an＝n＋2， {bn}的通项公式为bn＝3×2n－1. (2)由(1)知cn＝＝，则＝×3×2n－1＝. 所以{cn}为等比数列，公比为，首项为. 所以Mn＝＝. 因为Mn<m恒成立，所以<m. 而<，所以m≥， 所以m的最小值为. 5．已知数列{an}是正项等比数列，且a1＝2，＝1，若数列{bn}满足b2＝，bn＋1＝＋bn. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)已知cn＝，记Sn＝c1＋c2＋…＋cn.若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围． 解：(1)设数列{an}的公比为q(q>0)，由a1＝2，得an＝a1qn－1＝2qn－1. 由＝1，得－＝1，所以－