第二板块 创新强化练 “数列”创新考法专训（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第二板块 创新强化练 “数列”创新考法专训 1．(2023·陕西一模)已知xy>0，向量m＝(2x,1)与向量n＝垂直，x，y,2成等比数列，则x与y的等差中项为(　 ) A. B. C. D．1 解析：选A　因为m＝(2x,1)与n＝垂直，所以m·n＝(2x,1)·＝x－y＝0，得y＝2x.又因为x，y,2成等比数列，所以y2＝2x.又xy>0，联立方程y＝2x和y2＝2x，得x＝，y＝1.所以x，y的等差中项为＝. 2．已知a>0，b>0，实数a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，则的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B　∵a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，∴x1＋x2＝a＋b，y1y2＝ab，∴＝＝＋2＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号．∴的最小值为4. 3．已知数列{an}为等比数列，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a3)(x－a5)…(x－a997)(x－a999)的导函数为f′(x)，f′(0)＝1，若a1>0，{an}的公比q>1，则当{an}的前n项乘积最小时，n的值为(　 ) A．499 B．500 C．498或499 D．499或500 解析：选D　设g(x)＝(x－a1)(x－a3)(x－a5)…(x－a997)(x－a999)，则f(x)＝xg(x)，则f′(x)＝g(x)＋xg′(x)．因为数列{an}为等比数列，所以f′(0)＝g(0)＝a1a3a5…a997a999＝a＝1，由a1>0，q>1，可得an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，则an＋1>an>0，所以a500＝1.当n<500时，an<1，当n>500时，an>1，所以当{an}的前n项乘积最小时，n的值为499或500. 4．已知各项均为正数的数列{an}满足anan＋1＝(sin α)n，且数列{an}的前n项积为Tn，则下列结论错误的是(　 ) A．若α＝，则T100＝1 B．若α＝，则a9＝ C．存在α及正整数k，使得a2k＋1＞a2k－1 D．若{an}为等比数列，则a1＝ 解析：选C　若α＝，则anan＋1＝n＝1，所以T100＝(a1a2)·(a3a4)·…·(a99a100)＝150＝1，故A正确；若α＝，则anan＋1＝n＝n，所以an＋1an＋2＝n＋1，两式相除得＝，所以a9＝a1×4＝，故B正确；因为anan＋1＝(sin α)n，所以an＋1an＋2＝(sin α)n＋1，所以＝sin α≤1.又因为数列{an}各项均为正数，所以an＋2≤an，即a2k＋1≤a2k－1，故不存在α及正整数k，使得a2k＋1＞a2k－1，故C错误；若{an}为等比数列，设其公比为q(q＞0)，则anan＋1＝a1qn－1·a1qn＝(q2)n＝(sin α)n，所以则a1＝，故D正确． 5．[多选]已知等比数列{an}首项a1>1，公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数f(x)＝x(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)，若f′(0)＝1，则下列结论正确的是(　 ) A．{lg an}为递增的等差数列 B．0<q<1 C.为递增的等比数列 D．使得Tn>1成立的n的最大值为6 解析：选BCD　由函数f(x)＝x(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)，得f′(x)＝(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)＋x[(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)]′.因为f′(0)＝1，所以a1a2…a7＝1.由等比数列的性质可得a1a7＝a2a6＝a3a5＝a，所以a1a2…a7＝a＝1，所以a4＝1，由a1>1，可得0<q<1，故B正确；因为等比数列{an}首项a1>1，公比为q，所以＝q，则lg an＋1－lg an＝lg＝lg q<0，故{lg an}为递减的等差数列，故A错误；设bn＝Sn－＝－＝qn，则＝＝q，为常数．因为0<q<1，所以<0，qn单调递减，所以为递增的等比数列，故C正确；因为a1a2…a7＝1，且a1>a2>…>a7>0，所以a1a2…a6>1,0<a7<1，所以使得Tn>1成立的n的最大值为6，故D正确． 6．[多选]设随机变量ξ的分布列如下： ξ 1 2 3 … 2 022 2 023 P a1 a2 a3 … a2 022 a2 023 则下列说法正确的是(　 ) A．当{an}为等差数列时，a2＋a2 022＝ B．数列{an}的通项公式可能为an＝ C．当数列{an}满足an＝(n＝1,2，…，2 022)时，a2 023＝ D．当数列{an}满足P(ξ≤k)＝k2ak(k＝1,2，…，2 023)时，a2 023＝ 解析：选AC