第一板块 小题保分练(三) 平面向量的基本运算及应用（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

第一板块 小题保分练（三） 平面向量的基本运算及应用 1．已知平面向量a与b的夹角为，若a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　 ) A. B．2 C．4 D．12 解析：选B　由a＝(2,0)，得|a|＝2.所以2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos＋4＝12，故|a＋2b|＝2. 2.(2023·汕头三模)如图，点D，E分别为AC，BC的中点，设＝a，＝b，F是DE的中点，则＝(　 ) A.a＋b B．－a＋b C.a＋b D．－a＋b 解析：选C　由已知，得＝＋＝＋＝＋，即＝a＋b. 3．(2023·潍坊模拟)已知a，b是平面内两个不共线的向量，＝a＋λb，＝μa＋b，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件是(　 ) A．λ－μ＝1 B．λ＋μ＝2 C．λμ＝1 D.＝1 解析：选C　因为A，B，C三点共线的充要条件是＝m且m∈R，所以故λμ＝1. 4．(2023·太原模拟)已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，且a⊥，则a在b方向上的投影向量为(　 ) A．a B.b C.b D.a 解析：选B　由a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝0， ∴|a|2－a·b＝0，于是a·b＝9.∴a在b方向上的投影向量为×＝×＝b. 5．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　 ) A. B．3 C．2 D．5 解析：选B　法一：由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝·＝||2－||2＝4－1＝3，故选B. 法二：以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系,则E(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，则＝(1,2)，＝(－1,2)，·＝－1＋4＝3，故选B. 6．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－2b|，且b在a上的投影向量为a，则＝(　 ) A. B. C．2 D. 解析：选B　设a，b的夹角为θ，由|a＋b|＝|a－2b|可得a2＋b2＋2|a|·|b|cos θ＝a2＋4b2－4|a|·|b|cos θ，·cos θ＝，所以cos θ＝.由b在a上的投影向量为a，得|b|·cos θ·＝a.所以·cos θ＝，即·＝，则＝. 7．(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：选D　∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.又a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，∴(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4.且|a－c|＝|2a＋b|＝＝＝，|b－c|＝|a＋2b|＝＝＝，∴cos〈a－c，b－c〉＝＝，故选D. 8．已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，当·＝－时，＝(　 ) A．－＋ B．－＋ C．－＋ D．－＋ 解析：选B　设＝λ(0<λ<1)，则＝－＝－λ，＝－λ. ∴·＝(－λ)·(－λ)＝·－λ·－λ·＋λ22＝2－λ×2×××2＋3λ2＝3λ2－6λ＋2＝－， ∴9λ2－18λ＋8＝0，∴λ＝或λ＝(舍去)． ∴P为△ABC的重心． ∵PE⊥AC，∴E为AC的中点． ∴＝－＝－＝－×(＋)＝－＋. 9.[多选]在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，＝2，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值可能是(　 ) A．1 B. C. D．3 解析：选AB　如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设AB＝6，AD＝3m，m>0，则A(0,0)，B(6,0)，D(0,3m)，E(3,0)，M(2，m)，N(1,2m)，＝(2，m)，＝(1,2m)，＝(－6,3m)，＝(6,0)．设＝x，0≤x≤1，则＝＋x＝(6－6x,3mx)．∵＝λ＋μ，∴(6－6x，3mx)＝λ(2，m)＋μ(1,2m)＝(2λ＋μ，mλ＋2mμ)．∴整理得λ＋μ＝2－x.∵x∈[0,1]，∴λ＋μ＝2－x∈[1,2]． 10．(2023·浙江校联)[多选]已知向量a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列说法正确的是(　 ) A．若a∥b，则θ＝ B．若〈a，b〉为锐角，则0≤θ< C．若a在b上的投影向量为－b，则b＝(－1,0) D．|a－b|的最小值为1，最大值为3 解析：选AC　若a∥b，则sin θ－cos θ＝0，解得tan θ＝，所以θ＝，故A正确；若〈a，b〉为锐角，则cos θ＋sin θ>