山东省青岛市2023-2024学年高二上学期期末学业水平检测数学试题

2023-2024学年山东省青岛市高二上学期期末学业水平检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，且与互相垂直，则实数等于 (    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 3.已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为(    ) A. B. C. D. 4.正四面体各棱长均为，，，分别是的中点，则(    ) A. B. C. D. 5.点在椭圆上，，点到直线的距离为，则(    ) A. 与无关 B. C. D. 6.过三点，，的圆交轴于，两点，则(    ) A. B. C. D. 7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是(    ) A. 准线的方程是 B. 以为直径的圆与轴相切 C. 的最小值为 D. 的面积最小值为 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则(    ) A. 这组数据的极差为 B. 这组数据的众数为 C. 这组数据的中位数为或 D. 这组数据的第百分位数为 10.下列有关直线与圆的结论正确的是(    ) A. 方程表示的直线必过点 B. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 C. 圆和圆的公共弦所在的直线方程为 D. 若圆上恰有个点到直线的距离等于，则 11.在等比数列中，，，则(    ) A. 的公比为 B. 的前项和为 C. 的前项积为 D. 12.已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则(    ) A. 双曲线的离心率为 B. 存在点，使得四边形为正方形 C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有          种用数字作答． 14.已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为          ． 15.已知是圆上任意一点，则的取值范围为          ． 16.已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则          使得不等式成立的的最小值为          ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知点，，中恰有两个点在抛物线上． 求的标准方程 若点，在上，且，证明：直线过定点． 18.本小题分 已知数列的前项和为，，． 求数列的通项公式 设，记数列的前项和为，证明． 19.本小题分 已知点，，动点满足． 求动点的轨迹方程 一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 20.本小题分 如图所示，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，是的中点． 求证：平面平面； 若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 21.本小题分 在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，，． 求， 求数列中，，的递推关系 记是数列的前项和，证明：为定值． 22.本小题分 已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． 求的标准方程 设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线的方向向量和直线的倾斜角与斜率，属于基础题． 设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角． 【解答】解：设直线的倾斜角为，， 由直线的一方向向量为 得， 则， 故选C． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的坐标表示，考查空间向量的数量积运算，是基础题． 根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【解答】 解：， ， 与互相垂直， ，解得或． 故选C． 3.【