第一板块 层级2 微专题(三) 解三角形综合问题（课件PPT）-【新高考方案】2024年高考数学(文科)二轮复习专题增分方略（老教材）

微专题(三)　 解三角形综合问题 1 命题点(一)　利用正弦、余弦定理解三角形 目 录 命题点(二)　与多边形有关的解三角形问题 命题点(三)　解三角形中的最值与范围问题 命题点(四)　正、余弦定理的实际应用 01 02 03 04 2 (1)解三角形在高考中的考查主要是利用正、余弦定理求三角形的边、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形． (2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口． 命题点(一)　利用正弦、余弦定理解三角形 [例1]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S. (1)求角B的大小； (2)若a＝b＋1，c＝b－2，求cos A，cos C的值． 方法技巧 利用正、余弦定理解三角形的关键点 (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形． 针对训练 1．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)． (1)若A＝2B，求C； (2)证明：2a2＝b2＋c2. 命题点(二)　与多边形有关的解三角形问题 [关键点拨] 切入点 (1)设BC＝CD＝x>0，在△ABC，△ACD中分别利用余弦定理可得出关于x，cos B的方程组，解出cos B的值，结合角B的取值范围可求得角B的值； (2)利用正弦定理可求得∠BPC的正弦值，再利用勾股定理求出PB，即可求得PA的长 隐藏点 B＋D＝π⇒cos D＝cos(π－B)＝－cos B在余弦定理中的应用 方法技巧 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 针对训练 (1)解三角形中的最值与范围问题主要是求平面图形(一般为三角形或四边形)的面积、周长、边长等的最值或范围． (2)解题的关键在于根据题目条件恰当的表示目标函数，并选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式、二次函数等． 命题点(三)　解三角形中的最值与范围问题 [关键点拨] 方法技巧 三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法 (1)利用基本不等式求得最大值或最小值； (2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围． 针对训练 4．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________. 解析：设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图． 命题点(四)　正、余弦定理的实际应用 A．346　　　B．373　　　C．446　　　D．473 [关键点拨] 切入点 通过作辅助线，将所求量转化到一个三角形中求A′B′ 关键点 正确的将AA′－CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′＋100 方法技巧 解三角形实际应用问题的步骤 针对训练 6. 在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究 如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳大桥等． 如图，某工程队将从A到D修建一条隧道，测量员 测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)， 则A，D间的距离为(　 ) 答案：A　 7．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角；推动自行车来测距离(轮子滚动一周为1.753米)．该小组在操场上选定A点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B点，此时测量视线和铅垂线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55米，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为________米．(精确到0.1) [解]　(1)由S＝absin C及b(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝6S， 得(a－b＋c)(sin A＋sin B＋sin C)＝3asin C. 由正弦定理得(a－b＋c)(a＋b＋c)＝3ac， 所以a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝＝， 因为0<B<π，所以B＝. (2)因为a2＋c2－b2＝ac，a＝b＋1，c