第一板块 课时验收评价(五) “解三角形”大题规范增分练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第一板块 课时验收评价（五）“解三角形”大题规范增分练 1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asin2＝bsin A，A的角平分线交BC于点D. (1)求B； (2)若c＝，AD＝，求b. 解：(1)因为2asin2＝bsin A，所以a(1－cos B)＝bsin A，由正弦定理得sin A(1－cos B)＝sin Bsin A，整理得sin B＋cos B＝1，所以sin＝，因为B∈(0，π)，所以B＋∈，所以B＋＝，所以B＝. (2)在△ABD中，＝，所以sin∠ADB＝＝，所以∠ADB＝，所以∠BAD＝∠DAC＝，所以∠ACB＝∠BAC＝，所以△ABC是等腰三角形，且a＝c，所以b＝2acos＝. 2.已知在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，c＝2bcos B，C＝. (1)求角B的大小； (2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度. ①△ABC的面积为； ②△ABC的周长为4＋2. 解：(1)∵c＝2bcos B，则由正弦定理可得sin C＝2sin Bcos B，∴sin 2B＝sin＝，∵C＝， ∴B∈，2B∈， ∴2B＝，解得B＝. (2)若选择①，由(1)可得A＝，即a＝b， 则S△ABC＝absin C＝a2·＝，解得a＝， 则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为 ＝＝. 若选择②：由(1)可得A＝，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin＝R，c＝2Rsin＝R， 则周长a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，解得R＝2，则a＝2，c＝2， 由余弦定理可得BC边上的中线的长度为＝. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求角A； (2)若b＝5，BC边上的高为，求边c. 解：(1)因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C， 所以sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C， 所以由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc， 所以由余弦定理得cos A＝＝＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由三角形面积公式得S△ABC＝ah＝×a＝a，S△ABC＝bcsin A＝×5c×sin＝c， 所以a＝c，即a＝c， 由余弦定理得a2＝25＋c2－5c，将a＝c代入上式得c2＋16c－80＝0，解得c＝4或c＝－20(舍去)，所以边c＝4. 4.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1. (1)若AC＝，求△ABC的面积； (2)若∠ADC＝，CD＝4，求tan∠CAD. 解：(1)因为AB＝1，AC＝，∠ABC＝，由余弦定理可得2AB·BC·cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC2，代值化简得BC＝或－2(舍去)， S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝. (2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理可得＝　①， 由AB⊥AD可得∠BAD＝，则∠BAC＝－θ，∠ACB＝π－∠ABC－∠BAC＝π－－＋θ＝θ－，在△ABC中，由正弦定理可得＝　②， 得＝·，整理得sin θ＝2cos θ，化简得tan θ＝2，故tan∠CAD＝2. 5.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A－sin2B＋sin2C－sin Asin C＝0. (1)求B； (2)若a＝1，求b＋c的取值范围. 解：(1)因为sin2A－sin2B＋sin2C－sin Asin C＝0，所以a2－b2＋c2－ac＝0，即b2＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－2accos B，所以cos B＝， 因为B∈，所以B＝. (2)由正弦定理＝＝， 得b＝＝，c＝＝＝＋， 则b＋c＝＋＝＋＝＋， 由锐角△ABC，得 得<A<，则<<， 所以tan∈，从而∈(1，)，所以b＋c的取值范围为. 6.如图，在△ABC中，∠C＝30°，D为BC边上一点，E为AD边上一点，且AB＝2，AE＝4，∠BED＝60°. (1)求△ABE的面积； (2)若BD＝3，求DC的长. 解：(1)由∠BED＝60°知∠AEB＝120°.在△ABE中，由余弦定理得AB2＝AE2＋BE2－2AE·BE·cos∠AEB，即(2)2＝42＋BE2－2×4×BE×cos 120°，整理得BE2＋4BE－12＝0，解得BE＝2或BE＝－6(舍去)，所以△ABE的面积S△ABE＝AE·BE·sin 120°＝2. (2)在△BED中，由余弦定理得BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos∠BED，即32＝22＋ED2－2×2×ED×，整理得ED2－2ED－5＝0，解得ED＝＋1或ED＝－＋1(舍去).在△BED中，由正弦定理得＝，