第一板块 课时验收评价(四) 解三角形综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第一板块 课时验收评价（四）解三角形综合问题 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan A＝－，△ABC的面积为a，则bc的最小值为(　 ) A.16 B.16 C.48 D.24 解析：选C　因为0<A<π且tan A＝－，则A＝，因为S△ABC＝bcsin A＝bc＝a，所以a＝，由余弦定理可得＝a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≥48，当且仅当b＝c＝4时，等号成立，故bc的最小值为48. 2.在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程，如图所示，A，B，C为某山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为α＝60°，β＝45°，γ＝30°，现需要沿直线AC开通穿山隧道DE，已知BC＝5，AD＝，EB＝，则隧道DE的长度为(　 ) A.5＋5 B.2＋4 C.10 D.4＋2 解析：选D　因为α＝60°，β＝45°，γ＝30°，所以∠PAC＝α＝60°，∠PBA＝β＝45°，∠PCA＝γ＝30°，∠BPC＝β－γ＝15°，在△BPC中，由正弦定理得＝，PB＝＝＝5＋5，因为∠PAC＝60°，∠PBA＝45°，所以∠APB＝75°，在△APB中，由正弦定理得＝，所以AB＝＝＝＋5，所以DE＝AB－AD－EB＝＋5－－＝2＋4. 3.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2，tan A＋tan B＋＝tan Atan Btan C，则△ABC周长的最大值为(　 ) A.4 B.6 C.8 D.10 解析：选B　tan C＝－tan(A＋B)＝，tan C(tan Atan B－1)＝tan A＋tan B， 依题意tan A＋tan B＋＝tan Atan Btan C，即tan C(tan Atan B－1)＋＝tan Atan Btan C，得tan C＝>0，所以C为锐角，C＝. 由正弦定理得＝＝＝＝，所以a＝sin A，b＝sin B，所以三角形ABC周长为a＋b＋c＝2＋sin A＋sin B＝2＋sin＋sin B＝2＋＋sin B＝2＋2sin B＋2cos B＝2＋4sin， 由于0<B<，<B＋<，所以当B＋＝，B＝时，三角形ABC的周长取得最大值为6. 4.在运动会的升旗仪式上，从坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10米(如图)，则旗杆的高度为________米. 解析：如图，记看台上的一列为BC，旗杆为OP，依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∠PBO＝60°，BC＝10米，∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°， ∴在△PBC中，由正弦定理可知PB＝·sin∠PCB＝20(米)， ∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin∠PBO＝20×＝30(米)，即旗杆的高度为30米. 答案：30 5.(2023·焦作二模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin Asin C＝1＋2cos Acos C，a＋c＝3sin B，则b的最小值为________. 解析：因为2sin Asin C＝1＋2cos Acos C，整理可得cos(A＋C)＝－， 因为A＋B＋C＝π，所以cos B＝，又因为0<B<π，所以B＝. 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，又因为a＋c＝3sin B＝， 所以b2＝－3ac≥－32＝－＝，所以b的最小值为，当且仅当a＝c＝时等号成立. 答案： 6.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知A＋C＝2B. (1)若b＝5，c＝3，求sin C； (2)若a＋c＝2b，求证：△ABC是等边三角形； (3)若cos A＝，求cos 2C的值. 解：(1)在△ABC中，A＋C＝2B，则B＝，sin B＝，又b＝5，c＝3，由正弦定理得sin C＝sin B＝×＝. (2)证明：在△ABC中，A＋C＝2B，则B＝，cos B＝，则有b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，又a＋c＝2b，则b2＝4b2－3ac，即b2＝ac，则有＝ac，则有a＝c，又b2＝ac，则有a＝b＝c，则△ABC是等边三角形. (3)在△ABC中，A＋C＝2B，则B＝，cos B＝，sin B＝，又cos A＝，0<A<π，则sin A＝，则cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝，则cos 2C＝2cos2C－1＝22－1＝. 7.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A. (1)求角