第四板块 课时验收评价(五) “概率与统计”大题规范增分练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第四板块 课时验收评价（五）“概率与统计”大题规范增分练 1.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为中学生的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了n名中学生，对这些人每周的平均阅读时间(单位：小时)进行统计，并将样本数据分成[0, 2)，[2, 4)，[4, 6)，[6, 8)，[8, 10)，[10, 12)，[12, 14)，[14, 16)，[16, 18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知这n名中学生中每周平均阅读时间不低于16小时的人数是2人. (1)求n和a的值； (2)为进一步了解这n名中学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从周平均时间在[8, 10)，[10, 12)，[12, 14)三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在[10, 12)内的中学生人数为X，求X的分布列和数学期望. 解：(1)由题意得n＝＝100，a＝[1－2×(0.02＋0.03＋0.05＋0.05＋0.15＋0.05＋0.04＋0.01)]÷2＝0.10. (2)依题意，周平均阅读时间在[8,10)，[10,12)，[12,14)三组内的中学生人数比为3∶2∶1，则6人中周平均阅读时间在[10,12)内的中学生人数为2人，X的所有可能取值为0,1,2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 2.甲、乙两队进行一轮篮球比赛，比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束).在每一局比赛中，都不会出现平局，甲每局获胜的概率都为p(0<p<1). (1)若p＝，比赛结束时，设甲获胜局数为X，求其分布列和期望E(X)； (2)若整轮比赛下来，甲队只胜一场的概率为f(p)，求f(p)的最大值. 解：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3， 则P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C4＝，P(X＝2)＝C5＝，P(X＝3)＝3＋C4＋C5＝. 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2)甲队只胜一场的概率为f(p)＝Cp(1－p)3，则f′(p)＝C＝3(1－p)2(1－4p). 故当0<p<时，f′(p)>0，f(p)单调递增；当<p<1时，f′(p)<0，f(p)单调递减，则f(p)max＝f＝. 3.某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为p，收益率为－10%的概率为1－p；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30%的概率为0.4，收益率为－20%的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5. (1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目； (2)若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如表： 年份x 2018 2019 2020 2021 μ 1 2 3 4 累计投资金额y(单位：亿元) 2 3 5 6 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于μ的回归方程＝μ＋，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元. 附：收益＝投入的资金×获利的期望；回归方程＝x＋中，＝＝，＝－. 解：(1)若投资光刻机项目，设收益率为α1，则α1的分布列为 α1 0.3 －0.1 P p 1－p 所以E(α1)＝0.3·p＋(－0.1)·(1－p)＝0.4p－0.1. 若投资光刻胶项目，设收益率为α2，则α2的分布列为 α2 0.3 －0.2 0 P 0.4 0.1 0.5 所以E(α2)＝0.3×0.4＋(－0.2)×0.1＋0×0.5＝0.1. 因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的， 所以0.4p－0.1＝0.1，所以p＝0.5. 因为D(α1)＝(0.3－0.1)2×0.5＋(－0.1－0.1)2×0.5＝0.04，D(α2)＝(0.3－0.1)2×0.4＋(－0.2－0.1)2×0.1＋(0－0.1)2×0.5＝0.03， 所以E(α1)＝E(α2)，D(α1)>D(α2)， 这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥. 综上所述，建议该风险投资公司投资光刻胶项目. (2)＝＝2.5，＝＝4，μiyi＝1×2＋2×3＋3×5＋4×6＝47，μ＝12＋22＋32＋42＝30， 则＝＝＝1.4，＝－＝4－1.4×2.5＝0.5， 故回归方程为＝1.4μ＋0.5. 设