第三板块 课时验收评价(五) “立体几何”大题规范增分练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第三板块 课时验收评价（五）“立体几何”大题规范增分练 1.如图，在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面ADC，DA＝DC＝AC＝AB＝BC，F为AC的中点，BF∥DE. (1)求证：AC⊥BE； (2)若A，B，C，D，E五点在同一个球面上，求直线BE与平面BDC所成角的正弦值. 解：(1)证明：连接DF， 因为DA＝DC，F为AC的中点， 所以DF⊥AC， 又因为AB＝BC，所以BF⊥AC， 所以直线AC⊥平面BDF， 又因为BF∥DE， 所以B，E，D，F四点共面，即BE⊂平面BDF，所以AC⊥BE. (2)不妨设AC＝2，如图所示，O1为△ABC的外接圆圆心，O2为DE的中点，则四边形O1O2DF为矩形，所以DE＝2O1F＝， 以F为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得， F(0,0,0)，B(0，，0)，C(1,0,0)，D(0,0，)，E. 设m＝(x，y，z)是平面BDC的一个法向量， 因为＝(1，－，0)，＝(0，－，)， 所以令x＝ ⇒所以m＝(，1,1), 因为＝， 所以sin θ＝|cos〈m，〉|＝. 即直线BE与平面BDC所成角的正弦值为. 2.如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是一个边长为2的正方形，点D为母线BB1的中点，C1为弧A1B1上一点，且∠C1O1B1＝. (1)求三棱锥D－C1OO1的体积； (2)求二面角C1－OD－O1的余弦值. 解：(1)过C1作C1E⊥O1B1交A1B1于点E，连接B1C1，因为O1C1＝O1B1＝1，∠C1O1B1＝， 所以△O1C1B1为正三角形，所以E为O1B1的中点，即C1E＝，又因为平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，平面ABB1A1∩平面A1B1C1＝A1B1，C1E⊥A1B1，C1E⊂平面A1B1C1，所以C1E⊥平面ABB1A1，即C1E⊥平面O1OD，因为D为BB1的中点，所以O1D＝OD＝，又O1O＝2，即O1D2＋OD2＝OO，则∠O1DO＝，则△O1DO的面积为1，VD－C1OO1＝VC1－DOO1＝S△DO1O·C1E＝×1×＝. (2)因为在圆柱OO1中，轴截面ABB1A1是正方形，取弧AB的中点C， 易知OC，OB，OO1两两垂直，以，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意知O(0,0,0)，D(0,1,1)，A1(0，－1,2)，C1， ＝(0,1,1)，＝， 设平面C1OD的法向量n1＝(x，y，z)， 则即 取y＝1，则z＝－1，x＝，则n1＝(，1，－1)， 平面ODO1的法向量可取n2＝(1,0,0)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝＝， 设二面角C1－OD－O1为θ，则θ为锐角， 所以cos θ＝＝， 所以二面角C1－OD－O1的余弦值为. 3.(2023·威海三模)如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，M，N分别是AB，AC上的点，且AM＝AN＝4，E是BC的中点，AE交MN于点F.以MN为折痕把△AMN折起，使点A到达点P的位置(0<∠PFE<π)，连接PB，PE，PC. (1)证明：MN⊥PE； (2)设点P在平面ABC内的射影为点Q，若二面角P－MN－B的大小为π，求直线QC与平面PBC所成角的正弦值. 解：(1)证明：因为△ABC是等边三角形，E是BC的中点，所以AE⊥BC， 因为AM＝AN＝4，所以MN∥BC，所以MN⊥AE，可得MN⊥PF，MN⊥FE，又PF∩FE＝F， 所以MN⊥平面PFE， 又PE⊂平面PFE，所以MN⊥PE. (2)因为MN⊥PF，MN⊥FE，所以二面角P－MN－B的平面角为∠PFE， 所以∠PFE＝，可得∠PFA＝， 由(1)知，MN⊥平面PFE，MN⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PFE， 又因为平面PFE∩平面ABC＝AE，所以点P在平面ABC内的射影Q在AE上， 因为PF＝2，所以QF＝，PQ＝3， 过F作直线l∥PQ交PE于点K，以F为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0, －， 3)，C(－3，， 0)，E(0，， 0)，Q(0, －， 0)，＝(－3, 2， 0)，＝(－3, 2， －3)，＝(0, 2， －3)， 设平面PBC的法向量为n＝(x, y, z)，则⇒令z＝2，可得n＝(0，， 2)， 所以|cos〈，n〉|＝＝， 所以直线QC与平面PBC所成角的正弦值为. 4.四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB＝2，CD＝1，∠ABC＝60°，PC＝3，点M在棱PB上. (1)当 M是棱PB的中点时，求证：CM∥平面PAD； (2)当直线CM与平面PAB所成角θ最大时，求二面角C－AM－B的大小. 解：(1)证明：取AP的中点为N，