第三板块 课时验收评价(四) 立体几何中的综合问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第三板块 课时验收评价（四）立体几何中的综合问题 1.如图1，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，AB＝4，AD＝2，将矩形ABCD沿EF翻折. (1)若所成二面角的大小为(如图2)，求证：直线CE⊥平面DBF； (2)若所成二面角的大小为(如图3)，点M在线段AD上，当直线BE与平面EMC所成的角为时，求二面角D－EM－C的余弦值. 解：(1)证明：由题意，得四边形BEFC是边长为2的正方形，BF，EC是正方形BEFC的对角线，所以BF⊥EC，又平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，DF⊥EF，DF⊂平面AEFD，所以DF⊥平面BEFC，又EC⊂平面BEFC，则DF⊥EC， 又DF∩BF＝F，则EC⊥平面DBF. (2) 过E作Ez⊥平面AEFD，而AE，EF均在平面AEFD内，则Ez⊥AE，Ez⊥EF，又AE⊥EF， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，由题设知∠BEA＝∠CFD＝， 所以E(0, 0, 0)，B(1, 0, )，C(1, 2，)，设M(2, m, 0)，且0≤m≤2，则＝(1, 0，)，＝(1, 2，)，＝(2, m, 0)，设n＝(x，y，z)是平面EMC的一个法向量，则 令x＝m，则n＝， cos〈，n〉＝＝＝，可得m＝1，则n＝(1, －2，)， 又l＝(0, 0, 1)是平面EMD的一个法向量， 所以|cos〈l，n〉|＝＝＝，则锐二面角D－EM－C的余弦值为. 2.已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝AB＝1. (1)若点M是棱PB上的动点，请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为；②＝.其中哪一个条件可以推断出PD∥平面ACM(无需说明理由)，并用你的选择证明该结论； (2)若点N为棱PC上的一点(不含端点)，试探究PC上是否存在一点N，使得平面ADN⊥平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 解：(1)条件②可以推断PD∥平面ACM.证明如下： 如图，连接AC，BD相交于点E，连接EM. 在梯形ABCD中，有AB∥DC，AD＝DC＝AB＝1，所以＝＝.又因为＝＝，所以△BME∽△BPD，故EM∥PD，又PD⊄平面ACM，EM⊂平面ACM，所以PD∥平面ACM. 故当＝时，PD∥平面ACM. (2)以A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0, 0, 0)，D(1, 0, 0)，P(0, 0, 1)，C(1, 1, 0)，B(0, 2, 0)， 设＝λ(0<λ<1)，则N(λ， λ， 1－λ)，设平面ADN的一个法向量为n1＝(x, y, z)，满足即故取n1＝， 设平面BDN的一个法向量为n2＝(a，b，c)， 满足即故取n2 ＝，若平面ADN⊥平面BDN，则n1⊥n2，即＋＝0， 解得λ＝，此时N为PC的中点，＝1. 3.如图，在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC，BC⊥AC. (1)证明：平面SAB⊥平面ABC； (2)若BC＝SC，SC⊥SA，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由. 解：(1)证明：作SE⊥平面ABC，连接EA，EC，EB，且EA，EC，EB都在平面ABC内，所以SE⊥EA，SE⊥EC，SE⊥EB. 又SA＝SB＝SC，所以EA＝EC＝EB，因为BC⊥AC，所以三角形ACB为直角三角形，所以E为AB的中点，则SE⊂平面SAB， 所以平面SAB⊥平面ABC. (2)以E为坐标原点，平行AC的直线为x轴，平行BC的直线为y轴，ES所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AS＝SB＝SC＝2， 由SC⊥SA，得AC＝2，又BC＝SC＝2，得EC＝，SE＝1，则A(－，1,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，E(0,0,0)，S(0,0,1)，所以＝(2，－2,0)，＝(－，1，－1)，设D(x，y，z)，＝λ(0≤λ≤1)，则(x－，y－1，z)＝λ(－，－1,1)， 所以D(－λ，1－λ，λ)，＝(－λ，2－λ，λ). 设平面SAB的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则取x1＝1， 得n＝(1，，0)， 由sin 60°＝，得＝， 化简得λ2＋7λ＋1＝0，又0≤λ≤1，所以方程无解， 故不存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°. 4.(2023·石家庄二中模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF＝1. (1)求证：EF⊥平面BCF； (2)点M在线段EF(含端点)上运动，当点M在什么