第三板块 课时验收评价(三) 空间向量与空间角、距离问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第三板块 课时验收评价（三）空间向量与空间角、距离问题 1.三棱锥P－ABC中，PA＝4，AB＝2，BC＝2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AC中点，点E在棱PC上(端点除外).过直线DE的平面α与平面PAB垂直，平面α与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形. (1)在图中画出这个四边形，并写出作法(不要求证明)； (2)若PE＝3EC，求点C到平面α的距离. 解：(1)取AB的中点M，连接DM，作EF∥BC交PB于点F，连接MF，则四边形DMFE即为所求.如图所示. (2)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，所以AC＝4，∠BAC＝30°， AM＝AB＝， 所以M，D(0,2,0)，C(0，4,0)， 因为PA＝4，AC＝4，PE＝3EC， 所以E(0,3,1)，故＝(0，－1,1)，＝，＝(0,1,1). 设平面DME的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则有即 令x＝1，则y＝，z＝－， 所以m＝(1，，－). 所以点C到平面α的距离 d＝＝＝. 2.如图，四棱锥A－BCDE的底面为等腰梯形，DE∥BC，且∠DCB＝45°，AB⊥AC，平面ACD⊥平面ACB. (1)证明：CD⊥AB； (2)若BC＝2DE＝2AB＝2，求二面角C－AD－E的大小. 解：(1)证明：因为平面ACD⊥平面ACB，且平面ACD∩平面ACB＝AC，AB⊥AC，AB⊂平面ACB， 所以AB⊥平面ACD. 又因为CD⊂平面ACD，所以CD⊥AB. (2)如图，建立空间直角坐标系，连接BD.由已知条件，易得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0).在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝＋4－2××2×＝，所以AD＝＝. 在△ACD中，由余弦定理得cos∠DAC＝＝，所以D.因为＝，所以＝，＝， 设n＝(x，y，z)为平面ADE的一个法向量， 由得取y＝1，则n＝(，1，－2).又平面ACD的一个法向量为＝(1,0,0).所以cos〈n，〉＝＝＝. 又二面角C－AD－E为钝角，所以二面角C－AD－E为. 3.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D为AC中点，平面AB1C⊥平面ABC. (1)求证：B1D⊥平面ABC； (2)求直线C1D与平面AB1C所成角的正弦值. 解：(1)证明：因为AB1＝B1C，D为AC的中点， 所以B1D⊥AC， 又平面AB1C⊥平面ABC，平面AB1C∩平面ABC＝AC，B1D⊂平面AB1C， 所以B1D⊥平面ABC. (2)在平面ABC内过点D作Dx⊥AC，如图建立空间直角坐标系，由AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，所以AC＝＝＝10， 所以AD＝BD＝AC＝5，因为AA1＝BB1＝13， 所以B1D＝＝12，所以B1(0,0,12)，D(0,0,0)，B，C(0,5,0)，＝， 由＝，得C1，所以＝， 显然平面AB1C的一个法向量可以为n＝(1,0,0)，设直线C1D与平面AB1C所成角为θ， 则sin θ＝＝＝＝， 所以直线C1D与平面AB1C所成角的正弦值为. 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，CD＝2，PD＝AD＝1，PC＝，点E为线段PC上的点，且BC⊥DE. (1)证明：PD⊥AC； (2)若二面角E－AD－B的大小为，求直线BP与平面EAD所成的角. 解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥CD，又BC⊥DE，CD∩DE＝D， 所以BC⊥平面PCD.所以BC⊥PD. 又PD2＋CD2＝PC2，所以CD⊥PD. 因为BC∩CD＝C，所以PD⊥平面ABCD， 则PD⊥AC. (2)由(1)得，PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形， 如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)， 易知，平面ABD 的一个法向量为n＝(0,0,1)， 点E在线段PC上，设＝λ(0≤λ≤1)， 则＝＋＝＋λ＝(0,2λ，1－λ)，＝(1,0,0)， 设平面EAD的一个法向量为m＝(x，y，z)， 即 令y＝λ－1，得z＝2λ，则m＝(0，λ－1,2λ)， 因为二面角E－AD－B的大小为， 所以＝＝，即＝，解得λ＝或λ＝－1(舍去)， 所以m＝，又＝(－1，－2,1)， 设直线BP与平面EAD所成的角为θ， sin θ＝＝＝. 所以直线BP与平面EAD所成角的大小为. 5.(2023·全国乙卷)如图，三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD＝DO，点F在AC上，BF⊥AO. (1)证明：EF∥平面ADO； (2)证明：平面ADO⊥平面BEF；