第三板块 课时验收评价(二) 球的切、接问题与动态问题（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第三板块 课时验收评价（二）球的切、接问题与动态问题 1.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点H在棱AA1上，且HA1＝1，P是侧面BCC1B1内一动点，HP＝，则CP的最小值为(　 ) A.－2 B.－3 C.－2 D.－3 解析：选A　如图，作HG⊥BB1交BB1于点G，则可得HG⊥平面BCC1B1，因为GP⊂平面BCC1B1，所以HG⊥GP，则HG＝3，因为HP＝，所以GP＝2，所以点P的轨迹是以G为圆心，2为半径的圆弧，所以CP的最小值为CG－2＝－2.故选A. 2.在三棱锥P－ABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝5，BC＝，PA＝8，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是(　 ) A.100π B.50π C.144π D.72π 解析：选A　如图，将三棱锥放于一个长方体内， 则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径， ∵PB＝＝10， ∴外接球的表面积为4π×2＝100π. 3.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为(　 ) A.π B.π C.2π D.2π 解析：选C　设外接球的半径为R，圆柱底面圆的半径为r，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h＝2r，由球O的表面积S＝4πR2＝8π，得R＝，又R＝＝r，得r＝1，所以圆柱的体积V＝πr2·2r＝2πr3＝2π. 4.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝3，AB＝4，则四棱锥P－ABCD外接球与内切球的表面积之比为(　 ) A. B.10 C. D.11 解析：选C　设四棱锥P－ABCD外接球与内切球的半径分别为R，r，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，则PC即为外接球直径，则R＝＝.设内切球球心为O，因为VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAB＋VO－PAD＋VO－PBC＋VO－PCD，又VP－ABCD＝×42×3＝16，PB＝PD＝＝5，四棱锥P－ABCD的表面积S＝42＋×3×4×2＋×4×5×2＝48，所以r＝＝1，故四棱锥P－ABCD外接球与内切球的表面积之比为＝. 故选C. 5.如图，四棱锥P－ABCD的外接球的球心为O，其中底面ABCD为正方形，若平面ABCD过球心O，且∠PBD＝45°，tan∠PAC＝，则异面直线PA，CD所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　连接PO(图略)，∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD，∴∠PAB即为所求异面直线PA与CD所成角，设外接球的半径为R，由PA2＋PC2＝4R2，tan∠PAC＝可得PA＝，AB＝R.又∠PBD＝45°，∴PB＝PD，∴PO⊥BD，∴PB＝R，△ABP是等腰三角形，∴cos ∠PAB＝＝. 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是棱AB上的动点，过A1，C1，P三点作正方体的截面，若截面把正方体分成体积之比为7∶25的两部分，则该截面的周长为(　 ) A. B.3＋ C.5＋ D.5＋ 解析：选D　如图所示，过点P作PQ∥A1C1，交BC于点Q，则四边形PQC1A1就是过点A1，C1，P的截面，设PB＝BQ＝x(0≤x≤2)， 则台体PBQ－A1B1C1的体积为×2×＝×8，解得x＝， 所以PQ＝，A1P＝C1Q＝＝，A1C1＝2， 所以截面的周长为×2＋2＋＝5＋. 7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题可知平面A1B1ED与棱柱上、下底面分别交于A1B1，ED，则A1B1∥ED，ED∥AB， 显然CDE－C1A1B1是三棱台， 设△ABC的面积为1，△CDE的面积为S，三棱柱的高为h， 由×1×h＝h(1＋S＋)， 解得＝， 由△CDE∽△CAB，得＝＝. 8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点P在△A1C1B的内部及其边界上运动，且DP＝，则点P的轨迹长度为(　 ) A.π B.2π C.2π D.3π 解析：选A　连接B1D，B1D1，BD，则A1C1⊥B1D1，A1C1⊥DD1，B1D1∩DD1＝D1，∴A1C1⊥平面B1DD1，∴A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1C1B.设A1C1∩B1D1＝E，连接BE交B1D于O，由△BOD∽△EOB1且BD＝2B1E可知OD＝2B1O，则OD＝B1D＝2，连接OP，则OD⊥OP，∴OP＝＝＝，可得点P的轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在△A1C1B内部及其边界上的部分，由OB＝2OE，E为A1C1中点，及△A1BC