第二板块 课时验收评价(五) “数列”大题规范增分练（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第二板块 课时验收评价（五）“数列”大题规范增分练 1.记Sn为数列{an}的前n项和.已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值. 解：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－＋. 当n＝1时，a1＝S1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－＋－， ∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1. 等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1， ∴an－an－1＝1. ∴数列{an}是公差为1的等差数列. (2)由(1)知数列{an}的公差为1. 由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝＝2－， 所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 2.已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，若由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)因为3n2－29n－2Sn＝0，所以Sn＝n2－n. 当n＝1时，a1＝－＝－13； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝3n－16. 经检验，a1＝－13满足an＝3n－16， 故数列{an}的通项公式为an＝3n－16. (2)设bm＝an，即2m＝3n－16，m，n∈N*. 由bm＝2m，所以bm＋1＝2m＋1＝2·2m＝2(3n－16)＝6n－32＝3－16， 由2n－∉N*，可知bm＋1∉{an}，即bm＋1不是两个数列的公共项. bm＋2＝2m＋2＝22·2m＝4(3n－16)＝12n－64＝3(4n－16)－16， 由4n－16∈N*，可知bm＋2∈{an}，所以bm＋2是两个数列的公共项， 因此，若ck＝bm＝an，则ck＋1＝bm＋2＝a4n－16， 所以＝＝＝4，且c1＝2， 所以两数列的公共项所构成的新数列{cn}是以2为首项，以4为公比的等比数列， 所以数列{cn}的前n项和Tn＝＝. 3.已知等比数列{an}是各项均为正数的递增数列，3a4,2a5，a6成等差数列，且满足a＝9a4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝log3a2n－1(n∈N*)，求数列的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，且q>1，由条件3a4,2a5，a6成等差数列， 可得4a5＝3a4＋a6，即4a4q＝3a4＋a4q2， 可得q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1(舍去)， 又因为a＝9a4，即aq4＝9a1q3，即a1＝3. 所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列， 所以an＝3n(n∈N*). (2)因为bn＝log3a2n－1＝2n－1， 所以＝＝， 数列的前n项和Tn＝＋＋＋…＋＝×＝＝. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝145，a3＝7，公比为2的等比数列{bn}满足b1＝2a1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn，及使得Tn>m－2 022对n∈N*恒成立的最大正整数m. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2.因为b1＝2a1＝2，所以bn＝2×2n－1＝2n. (2)因为anbn＝(3n－2)×2n，则Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－2)×2n，① 2Tn＝1×22＋4×23＋…＋(3n－5)×2n＋(3n－2)×2n＋1，② ①－②得－Tn＝2＋3(22＋23＋…＋2n)－(3n－2)·2n＋1 ＝2＋－(3n－2)·2n＋1＝－10＋(5－3n)·2n＋1， 因此，Tn＝(3n－5)·2n＋1＋10. Tn>m－2 022对n∈N*恒成立，即min>m－2 022， 又因为anbn＝(3n－2)·2n>0，所以{Tn}单调递增， 所以Tn的最小值为T1＝1, 即1>m－2 022，m<2 023， 所以最大正整数m为2 022. 5.已知数列{an}的每一项均为正数，a1＝3，它的前n项和为Sn，且an，，an＋1(n∈N*)成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求S2n，并证明：＋＋＋…＋<. 解：(1)由an，，an＋1成等比数列，得2Sn＝an·an＋1,2Sn＋1＝an＋1·an＋2.两式相减得2an＋1＝an＋1(an＋2－an)，因为数列{an}各项均为正数，所以an＋2－an＝2. 所以数列a1，a3，…，a2n－1，…是首项为3，公差为2的等差数列，则a2n－1＝3＋2(n－1)＝2n＋1.又2S1＝a1·a2，所以a2