第二板块 课时验收评价(四) 数列中的不等关系（Word练习）-【新高考方案】2024年高考数学(理科)二轮复习专题增分方略（老教材）

第二板块 课时验收评价（四）数列中的不等关系 1.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1,2Sn＝(n＋1)an，若关于正整数n的不等式a－tan≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　因为2Sn＝(n＋1)an,2Sn－1＝nan－1(n≥2)， ∴2an＝(n＋1)an－nan－1，∴(n－1)an＝nan－1(n≥2)， ∴＝(n≥2)，因此an＝××…××a1＝n，由a－tan≤2t2，得n2－tn≤2t2，解得－t≤n≤2t， 因为关于正整数n的解集中的整数解有两个，可知n＝1或n＝2， 因此2≤2t<3，所以1≤t<，故选A. 2.等比数列{an}的公比q∈(0,1)，且a＝a26，则使a1＋a2＋…＋an>＋＋…＋成立的正整数n的取值范围为________. 解析：由等比数列{an}的公比0<q<1，a＝a26，得(a1q14)2＝a1q25， 化简得a1q3＝1，则a1>0，且a1＝q－3， 由{an}为等比数列，得是以为首项，公比为的等比数列， 则原不等式等价为>， 因为0<q<1，把a1＝q－3，a＝q－6代入，整理得q－6(1－qn)>q1－n(1－qn)， 可得q－6>q1－n，即－6<1－n，即n<7， 因为n∈N*，所以正整数n的取值范围为{1,2,3,4,5,6}. 答案：{1,2,3,4,5,6} 3.已知函数f(x)＝，正数数列{an}满足an＋1＝f(an)，若对任意正整数n，不等式|an＋2－an＋1|≤λ|an＋1－an|都成立，则实数λ的最小值为________. 解析：因为an＋1＝f(an)，则|an＋2－an＋1|≤λ|an＋1－an|， 即为|f(an＋1)－f(an)|≤λ|an＋1－an|， 即λ≥，令y＝，则16y2－32x2＝1(y≥0)，表示双曲线的上支， 而表示双曲线上两点(an，f(an))，(an＋1，f(an＋1))连线的斜率， 当n―→＋∞时，趋向于渐近线的斜率， 而双曲线16y2－32x2＝1(y≥0)的渐近线为y＝±x， 所以<，所以λ≥，即实数λ的最小值为. 答案： 4.已知等差数列{an}公差不为零，a1＋a2＋a3＝a5，a2·a3＝a8，数列{bn}各项均为正数，b1＝1，b－3b＝2bnbn＋1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若＋6≥an恒成立，求实数λ的最小值. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由条件， 解得或∵d≠0，∴ ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∵3b＋2bnbn＋1－b＝0，∴(bn＋1＋bn)(3bn＋1－bn)＝0，∵bn>0，∴bn＋1＝bn， 又b1＝1≠0，∴bn≠0，∴＝，∴{bn}是以1为首项，为公比的等比数列.∴bn＝n－1. (2)∵bn＝n－1，an＝2n－1，∴＋6≥an，即＋6≥2n－1，即λ≥恒成立，设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝， 即n＝1,2,3时cn＋1>cn；n＝4时cn＋1＝cn；n≥5，n∈N*时cn＋1<cn， ∴n＝4或n＝5时，cn＝为{cn}的最大项，∴λ≥，故实数λ的最小值为. 5.已知{an}是首项为1，公差不为0的等差数列：a1，a2，a5成等比数列.数列{bn}满足＋＋＋…＋bn＝an. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求证：2·2·2·…·2>an＋1. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， ∵a＝a1·a5，∴(a1＋d)2＝a1·(a1＋4d)， 又a1＝1，得d＝2(d＝0舍去)，∴an＝2n－1. 故＋＋＋…＋bn＝an等价于2b1＋22b2＋23b3＋…＋2nbn＝2n(2n－1). 当n＝1时，2b1＝2a1＝2，∴b1＝1； 当n≥2时，由2b1＋22b2＋23b3＋…＋2nbn＝2n(2n－1)， 得2b1＋22b2＋23b3＋…＋2n－1bn－1＝2n－1(2n－3)，两式相减， 可得2nbn＝2n(2n－1)－2n－1(2n－3)＝2n－1(2n＋1)，∴bn＝.∴bn＝ (2)证明：∵1＋＝1＋>1＋＝， ∴2＝2>·， ∴2·2·2·…·2＝2·2·2·…·2>××××…××＝2n＋1＝an＋1，即命题得证. 6.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，正项等比数列{bn}的首项为a1，且a1b3＋a2b2＋a3b1＝15. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求使不等式bn≤2成立的所有正整数n组成的集合. 解：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn＝n2，所以当n＝1时，a1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1满足上式，故an＝2n－1. 所以a2＝3，a3＝5，从而a