关于线段和差问题的方法技巧 同步练 2024 年人教版九年级 数学中考总复习

线段和差问题的方法技巧 类型 1 截长 遇证明EF+CD=AB问题， ①在最长线段AB上截取线段AG等于EF (或CD)； ②在最长线段AB上截取线段BG等于CD (或EF)， 解题思路：证明线段BG等于线段CD (或EF)；②证明线段AG等于线段 EF(或CD)。 例1.如图，在等腰中，，点D在AC边上，以点B为直角顶点，BD为腰作等腰过点D作交BC于点F，过点E作交BA的延长线于点P，连接 PF，求证： 例2.（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系． 练习题 1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为边作等边△ABD，连接CD，过点A作AE⊥BC于点E，AE的延长线交CD于点 F，探究EF，AF，DF之间的数量关系，并证明. 2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，过点C作CD⊥BC于点C，且CD=1，以 DA 为边，作∠ADE=∠ADC，DE交BC于点E，求BE的长. 类型2 补短 遇证明EF+CD=AB问题， 解题思路： ①延长线段 EF(或FE)，在延长线上截取线段FG(或EH)等于CD，证明EG=AB(或FH=AB)； ②延长线段CD(或DC)，在延长线上截取线段 DG(或CH)等于EF，证明CG=AB(或DH=AB)。 例题1.如图，在梯形ABCD中，，延长CB至点E，使连接AE，DE，且求证： 例2．综合与实践徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD＝AC． （1）解决问题：小敏的证明思路：在AC上截取AE＝AB，连接DE．（如图2） 小洁的证明思路：延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE．（如图3） 请你任意选择一种思路完成证明． （2）问题升华：如图4，在△ABC中，若∠ACB＝2∠B，∠ACB≠90°，AD是△ABC外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB，AC，CD之间的数量关系又如何？请证明． 练习题 1.如图1，点E在正方形ABCD的边AB上，且连接 AF. 的度数为 ； (2)如图2，连接FC交BD于点M，交AD于点 N.求证： 2.数学课上，老师出示了这样一个问题： 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD=AE，求证：∠ABE=∠ACD. 在此问题的基础上，老师补充：如图 2，过点A作AF⊥BE于点G，交BC于点 F，过点 F作FP⊥CD 于点H，交BE于点 P，试探究线段 BP，FP，AF之间的数量关系，并说明理由. 小白通过研究发现，∠AFB与∠HFC之间有某种数量关系； 小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即截长补短，再通过进一步推理，可以得出结论. 阅读上面材料，解答下列问题： (1)求证：∠ABE=∠ACD； (2)猜想∠AFB与∠HFC之间的数量关系，并证明； (3)探究线段BP，FP，AF之间的数量关系，并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$