1.4 数列在日常经济生活中的应用（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.4 数列在日常经济生活中的应用 在当今社会经济日益繁荣，人民生活水平日益提高， 人民对生活设备的要求也提高了，往往需要购置更多 商品，这就要求人们必须懂得合理安排资金，使之得以 充分利用。而当前，随着住房、教育、买车 等贷款业务 逐渐深入家庭。我们经常遇到一些分期付款问题。如何 选择付款方式，关系到个人利益，也是一个需要运用数 学知识来计 算的复杂过程。做为“热点“的分期付款成为 了一种趋势，在今后，更将被广大人民所接受并应用于 生活中。通过研究调查，了解人 们对分期付款的认识程 度及应用程度，使资源共享更好地应用于人民，使人们 增加对分期付款的了解,并使分期付款更好地服务于人 民。本单元的目的在于让学生通过学习和调查，对分期 付款有进一步认识 ，感受数学在实际生活中应用价值 。 问题背景 自学导引 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 试一试：什么情况下建立数列模型？ 提示　根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型． 有关储蓄的计算 储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率． 根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率． (1)整存整取定期储蓄 一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为：_____，应纳税为______，实际取出金额为：_____________. 2． nAp nApq nAp(1－q)＋A 课前探究学习 课堂讲练互动 想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？ 提示　单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列． 解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图： 1． 数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋xr)． 2． 例如：①银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝a(1＋r)x. ②产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝N(1＋p)x. (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．   √ √c 预习检测 2．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是(　　) A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364 C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366 答案：C 解析：由复利公式得S＝10 000×(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365.故选C.   答案：C   4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001) 6.246 解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)． 题型一　等差数列模型(单利问题) 例1:银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%, 1.55%, 1.55%）.规定每次存入的钱不计复利. （1）若每月存入金额为x元,月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式； （2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元） 解：（1）根据题意，第1个月存入的金额为x元,到期利息为xrn元；第2个月存入的金额为x元,到期利息为xr（n-1）元……第n个月存入的金额为x元,到期利息为xr元. 而本金为nx元，这样就得到本利和公式 因此，各月利息之和为xr（1+2+…+n)= 即 ① 题型一　等差数列模型(单利问题) 例1:银行