2024年九年级中考数学专项冲刺测试卷—— 二次函数与特殊三角形

2024年九年级中考数学专项冲刺测试卷—— 二次函数与特殊三角形 1．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（–1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）求该二次函数的解析式及点C的坐标； （2）当P，Q运动t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状并求说明理由． （3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由 2．已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值； （3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，直接写出点Q的坐标； 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动． （1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标； （2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标； （3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值． 4．抛物线与轴交于，两点（在左边），与轴交于点． （1）如图1，若，，求抛物线的解析式； （2）如图2，为抛物线上一动点（在左边），若，，且． ①求的值； ②如图3，直线，分别与直线交于，两点，于，于．求而的值． 5．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时P点的坐标和的最大面积； （3）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E． ①请你直接写出的面积； ②在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、点C、点E、点F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标； （2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； ②若点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　； （3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围． 7．如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　． (2)①求抛物线的解析式； ② 点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值． 8．如图，抛物线经过点A（0，3），B（－1，0）． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长． (3)在抛物线上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 9．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴正方向上． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线第三象限的图象上，且到x轴、y轴的距离相等， ①证明：POB≌POC； ②直接写出OP的长； (3)若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中