精品解析：湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末统一考试数学试题

2024届高三统一考试试题 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（ ） A B. C. D. 3. 某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（ ） A. 96种 B. 84种 C. 72种 D. 60种 4. 在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 或2 5. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值和它们对应的亮度满足关系式，则（ ） A. 3等星的亮度是0.5等星亮度的倍 B. 0.5等星的亮度是3等星亮度的倍 C. 3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍 D. 0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍 6. 已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 7. 若函数与图象的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8. 在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（ ） A B. C. D. 10. 若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（ ） A. 重合 B. 相交于一点 C. 两两平行 D. 恰有两条交线平行 11. 已知平行四边形的面积为，且，则（ ） A. 的最小值为2 B. 当在上的投影向量为时， C. 的最小值为 D. 当在上投影向量为时， 12. 已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若，则__________. 14. 已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为__________cm.（取3.14，结果精确到整数） 15. 某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________. 16. 若为正整数，记集合中的整数元素个数为，则数列的前62项和为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）. （1）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列； （2）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值. 18. 在平面四边形中，平分. （1）证明：与相等或互补. （2）若，求内切圆的半径. 19. 在数列中，且. （1）证明：是等差数列； （2）设前项和为，证明：. 20. 在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，直线与平面交于点. （1）求的长； （2）若，求直线与平面所成角正弦值. 21. 在平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹记为曲线. （1）求的方程. （2）已知，过点的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与