精品解析：广东省深圳市高级中学2023-2024学年高三上学期第三次诊断测试数学试题

深圳市高级中学2024届高三第三次诊断测试 数学试题 （满分 150分， 考试时间 120 分钟） 2024 年 1月 一、 选择题：本题共8小题， 每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为i B. C. D. 3. 设，是两个不共线向量，已知，，，若三点A，B，D共线，则的值为（ ） A. －8 B. 8 C. 6 D. －6 4. 已知，则 值为 （ ） A. B. C. 1 D. 5. 甲、 乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. 设则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为3，点P是平面内的动点，M，N分别为，的中点，若直线BP与MN所成的角为，且，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多小个合题最需求．全的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据 ，其中为正实数.满足，下列说法正确的是（ ） A. 样本数据的第80百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D. 样本数据的方差，则这组样本数据的总和等于80 10. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于，两点，其中，且，则（ ） A. 直线l的斜率为 B. C. D. △MON（点O为坐标原点）的面积为6 11. 设数列前项和为，满足，且，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 当时，有最大值 D. 设，则当或时，数列前项和取最大值 12. 函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知的展开式中． 的系数为80， 则m的值为______． 14. 过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为________. 15. 如图， 在圆台 中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，, 点D是的中点， 为平面与平面的交线， 则交线与平面所成角的大小为_________． 16. 第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵英丽的雪花————“科赫雪花”． 它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分， 以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线，重复上述两步， 画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线 设雪花曲线周长为，面积为，若 的边长为1，则=_______，_______ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1. （1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数 （2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望. 18. 已知数列满足. （1）求证：是等差数列； （2）设(表示不超过x的最大整数)，求使得成立的最大整数n的值． 19. 如图，在中，，，点在线段上． （1）若，求的长； （2）若，的面积为，求的值． 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为短轴长的2倍，点在上运动，且面积的最大值为8． （1）求的方程； （2）若直线经过点，交于两点，直线分别交直线于，两点，试问与面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 21. 如图，在几何体中，