数列中的构造问题 专项练习-2024届高考数学一轮复习

数列中的构造问题 一、基础巩固练 1.已知在数列{an}中,a1=4,an+1=4an-6,则an= (　　) A.22n+1+2 B.22n+1-2 C.22n-1+2 D.22n-1-2 2.在数列{an}中,a1=14,-3,则(　　) A.{+3}是等比数列 B.{-3}是等比数列 C.{}是等比数列 D.{}是等比数列 3.已知在数列{an}中,a1=1且an+1=(n∈N*),则a16为(　　) A. B. C. D. 4.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=,则数列{bn}的前6项和为(　　) A.127 B.255 C.31 D.63 5.已知数列{an}满足an+1=,n∈N*,若a4=,则{an}的通项公式为　　　　　　　.  6.已知数列{an}满足a1=1,(n≥2),则a99=　　　　　.  7.已知数列{an}满足an+1=2an+2,a1=1,则an=　　　　　　　　.  8.已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.  9.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.  10.设数列{an}满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.  二、综合提升练 11.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=(　　) A.80 B.100 C.120 D.143 12.(多选题)已知数列{an}的首项为4,且满足2(n+1)an-nan+1=0(n∈N*),则(　　) A.{}为等比数列 B.{}为递增数列 C.{an}为递增数列 D.{an}为递减数列 13.已知在数列{an}中,nan+1=2(n+1)an+n(n+1)且a1=1,则数列{an}的通项公式为　　　　　　.  1.C　解析 因为an+1=4an-6,所以an+1-2=4(an-2).又a1-2=2,所以数列{an-2}是一个以2为首项,4为公比的等比数列,所以an-2=2×4n-1,所以an=22n-1+2. 2.B　解析 由题知-3,所以-3=2(-3),又因为-3=4≠0, 所以{-3}是等比数列,且首项为4,公比为2. 3.A　解析 易知an≠0,由an +1=,得又=1, ∴数列{}是以1为首项,为公差的等差数列,=1+(n-1)=, ∴an=,∴a16= 4.D　解析 由=2及bn=,得bn+1=2bn.又b1==1,所以数列{bn}是等比数列, 于是{bn}的前6项和为S6==63. 5.an=　解析 由题得an≠0,则等式两边同取倒数得=2+,则=2, 则数列{}为公差为2的等差数列,则+2(n-4)=2n+1,所以an= 6.50　解析 根据题意,令bn=,则由(n≥2),得bn=bn-1(n≥2).又b1=, 所以{bn}是首项为b1=的常数列,故bn=,即,故an=(n+1), 所以a99=(99+1)=50. 7.3×2n-1-2　解析 由an+1=2an+2得an+1+2=2(an+2).又a1+2=3, 所以=2,即{an+2}是等比数列, 所以an+2=3×2n-1,即an=3×2n-1-2. 8.an=n·2n-1　解析 当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,即=2,而=1, 因此数列{}是以1为首项,2为公比的等比数列,则=1×2n-1=2n-1,所以数列{an}的通项公式为an=n·2n-1. 9.an=3n-2n　解析 an+1=2an+3n两边同除以3n+1得, 令bn=,则bn+1=bn+设bn+1+λ=(bn+λ),解得λ=-1, 则bn+1-1=(bn-1).又b1-1=-, ∴数列{bn-1}是以-为首项,为公比的等比数列,bn-1=-()n,得an=3n-2n. 10.an=2·3n-n-1　解析 设an+pn+q=3[an-1+p(n-1)+q],化简后得an=3an-1+2pn+(2q-3p), 与原递推式比较,对应项的系数相等,得解得 即an+n+1=3(an-1+n-1+1). 令bn=an+n+1,则bn=3bn-1.又b1=6, 故bn=6·3n-1=2·3n,得an=2·3n-n-1. 11.C　解析 因为an+1=an+2+1, 所以an+1+1=()2+2+1,即an+1+1=(+1)2, 等式两边开方可得+1,即=1,所以数列{}是首项为=2,公差为1的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,所以a10=102+20=120. 12.ABC　解析 由题意,2(n+1)an-nan+1=0=2又=4,故{}是