精品解析：山东省烟台市2023-2024学年高三上学期1月期末学业水平诊断数学试题

2023~2024学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效：在草稿纸､试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. “直线与平行”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代十进制数算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ） 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 横式 A B. C. D. 6. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知为双曲线的一个焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与的另外一条渐近线交于点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数，若，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据的平均数为，则数据（ ） A. 与原数据的极差相同 B. 与原数据的中位数相同 C. 与原数据的方差相同 D. 与原数据的平均数相同 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 上单调递增 D. 当时，最小值为 11. 如图，在正四棱台中，为棱上一点，则（ ） A. 不存在点，使得直线平面 B. 当点与重合时，直线平面 C. 当为中点时，直线与所成角的余弦值为 D. 当为中点时，三棱锥与三棱锥的体积之比为 12. 我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线分别逆时针旋转可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（ ） A. 开口向下的抛物线的方程为 B. 若，则 C. 设，则时，直线截第一象限花瓣的弦长最大 D. 无论为何值，过点且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 已知等差数列的前项和为且，则的值为__________. 15. 若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为__________. 16. 如图，在直三棱柱中，，，则该三棱柱外接球表面积为__________；若点为线段的中点，点为线段上一动点，则平面截三棱柱所得截面面积的最大值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 若的内角的对边分别为. （1）求； （2）若，求的面积. 18. 已知数列的前项和，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求证：数列的前项和. 19. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面底面. （1）求证：； （2）若，且四棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值. 20. 某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为. （1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率； （2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据