正弦定理和余弦定理专项练习-2024届高考数学一轮复习

正弦定理和余弦定理 一、基础巩固练 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b2=a2+c2-ac,则B= (　　) A. B. C. D. 2.△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,a=,b=,则B的大小为(　　) A. B. C. D. 3.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形中的最大角的大小为(　　) A.150° B.135° C.120° D.90° 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为4,A=60°,b2+c2=3bc,则a=(　　) A.4 B.4 C.8 D.8 5.在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6.在△ABC中,AB=7,BC=3,C=,则△ABC的面积为(　　) A. B. C.4 D.6 7.(2021·全国乙,文15,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　.  8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4cos A=sin B+sin C.若△ABC的面积S=,则a的最小值为　　　　　.  9.在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积. 10.在四边形ABCD中,∠BAD=,∠ACD=,AD=,S为△ABC的面积,且2S=-. (1)求角B; (2)若cos D=,求四边形ABCD的周长. 二、综合提升练 11.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B=bcos A,则(　　) A.A= B.若B=,则b=a C.若a=,b+c=3,则bc=2 D.若a=2,则△ABC的面积的最小值为 12.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 13.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列结论正确的是(　　) A.若asin A=bsin B,则△ABC为等腰三角形 B.若acos A=bcos B,则△ABC为等腰三角形 C.若B=60°,b2=ac,则△ABC为等边三角形 D.若A=30°,b=10,a=4,则B有两解 14.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=　　　　　.  15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3c2. (1)证明:a+6ccos B=0; (2)若b=1,求△ABC面积的最大值. 1.A　解析 由b2=a2+c2-ac,得ac=a2+c2-b2.由余弦定理得cos B=由于B∈(0,π),所以B= 2.D　解析 由正弦定理可得asin B=bsin A,则sin B=,则sin B=由于B∈(0,π),b>a,所以B= 3.C　解析 由正弦定理得,a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k(k>0),则b=5k,c=7k,所以C最大. 由余弦定理得,cos C==- 因为0°<C<180°,所以C=120°. 4.B　解析 由题可得,△ABC的面积为4bcsin A=bc,则bc=16. 又b2+c2=3bc,由余弦定理, a2=b2+c2-2bccos A=3bc-bc=2bc=32,可得a=4 5.D　解析 (方法1)由题得,a2cos Asin B=b2cos Bsin A.结合正弦定理、余弦定理,得a2b=b2a,整理得,a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即a4-b4+c2(b2-a2)=0, 则(a2+b2)(a2-b2)+c2(b2-a2)=0,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 则a=b或a2+b2=c2.故△ABC为等腰三角形或直角三角形. (方法2)由正弦定理,得因为sin A≠0,sin B≠0, 所以,所以sin Acos A=sin Bcos B,则sin 2A=sin 2B. 所以2A=2B或2A+2B=π, 所以A=B或A+B=,即△ABC是等腰三角形或直角三角形. 6.A　解析 在△ABC中,AB=7,BC=3,C=,由余弦定理可得,AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C, 即49=CA2+9-6CA×(-),所以CA2+3CA-40=0, 解得CA=5或-8(舍去),所以S△