利用导数研究函数的极值、最值 专项练习——2024届高考数学一轮复习

利用导数研究函数的极值、最值 一、基础巩固练 1.已知函数f(x)=x3-3x2+a,则f(x)的极值点个数为(　　) A.不确定 B.0 C.1 D.2 2.函数f(x)=xln x-x在[,4]上的最小值为(　　) A.- B.-1 C.0 D.2ln 2-2 3.已知函数f(x)=ax++1在x=1处取得极值0,则a+b=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.函数f(x)=x3-3ax+a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是(　　) A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D.(0,) 5.函数f(x)=sin x-xcos x在[-]上的最小值为(　　) A. B.-1 C. D.0 6.若函数f(x)=ax2-2ln x有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,0] B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 7.(多选题)已知x=1为函数f(x)=x2-3x-logax的极值点,则(　　)(参考数据:ln 2≈0.693 1) A.f(x)在(0,1)内单调递减 B.f(x)的极小值为-2 C.f(x)有最小值,无最大值 D.f(x)有唯一的零点 8.已知x=1是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为　　　　　.  9.某圆锥的母线长为10 cm,当其体积最大时,圆锥的高为　　　　　cm.  10.已知函数f(x)=,g(x)=-x2+ax. (1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与y=g(x)也相切,求a的值; (2)若a=1,求函数y=f(x)+g(x)的最大值. 二、综合提升练 11.已知函数f(x)=mln x+的最小值为-m,则m=(　　) A. B. C.e D.e2 12.若函数f(x)=x2+ax+2ln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-4) B.(4,+∞) C.(-4,4) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 13.(多选题)已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex,则下列说法中正确的是(　　) A.f(x)在R上有两个极值点 B.f(x)在x=-1处取得最小值 C.f(x)在x=2处取得极小值 D.函数f(x)在R上有三个不同的零点 14.函数f(x)=在区间(a,a+1)内存在最小值,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1) B.(-2,-1) C.(-∞,) D.(,-1) 15.函数f(x)=|x-1|+xln x的最小值为　　　　　.  16.已知函数f(x)=ex-2x,g(x)=-x,且f(x1)=g(x2),则x1-x2的最小值为　　　　　.  17.已知函数f(x)=(x-a-1)ex-1-x2+ax. (1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(0,+∞)的最小值为-,求a的最大值. 1.D　解析 函数f(x)定义域为R,且f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=2,所以当x>2或x<0时,f'(x)>0,当0<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增,在(0,2)内单调递减,所以f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值,因此f(x)有2个极值点,故选D. 2.B　解析 f'(x)=ln x,令f'(x)=ln x=0得x=1,当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增,当x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,则f(x)在x=1时取得极小值,也是最小值,故f(x)≥f(1)=-1,故选B. 3.B　解析 f'(x)=a+,依题意有解得经检验,符合题意,所以a+b=0,故选B. 4.B　解析 f'(x)=3x2-3a,若a≤0,f'(x)≥0,f(x)在(0,1)内单调递增,f(x)无最小值;若a>0,由f'(x)=0,解得x=±,当x>时,f(x)单调递增,当0<x<时,f(x)单调递减,所以f(x)在x=处取得极小值,也是最小值,所以极小值点应该在(0,1)内,所以0<<1,所以0<a<1,故选B. 5.B　解析 f'(x)=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x,所以f'(0)=0,且当x∈[-,0)时,f'(x)>0,x∈(0,]时,f'(x)>0,即f'(x)≥0在[-]上恒成立,所以f(x)在[-]上单调递增,因此f(x)在[-]上的最小值为f(-)=sin(-)-(-)·cos(-)=-1,故选B. 6.B　解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2ax-,因为f(x)有且仅有一个极值点,所以方程ax2-1=0有且仅有一个正根,