公切线问题 专项练习——2024届高考数学一轮复习

公切线问题 一、基础巩固练 1. 已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=ln x+2的公切线,则a+b等于(　　) A.e+2 B.3 C.e+1 D.2 2.对于三次函数f(x),若曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线与曲线y=xf(x)在点(1,2)处的切线重合,则f'(2)=(　　) A.-34 B.-14 C.-4 D.14 3.已知函数f(x)=xln x,g(x)=ax2-x,若经过点A(1,0)存在一条直线l与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切,则a=(　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 4.已知函数f(x)=x2-2m,g(x)=3ln x-x,若y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则m=(　　) A.-3 B.1 C.2 D.5 5.已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1,则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 6.函数f(x)=ln x在点P(x0,f(x0))处的切线与函数g(x)=ex的图象也相切,则满足条件的切点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 7.(多选题)函数f(x)=ln x+1,g(x)=ex-1,下列说法正确的是(　　)(参考数据:e2≈7.39,e3≈20.09,ln 2≈0.69,ln 3≈1.10) A.存在实数m,使得直线y=x+m与y=f(x)相切也与y=g(x)相切 B.存在实数k,使得直线y=kx-1与y=f(x)相切也与y=g(x)相切 C.函数g(x)-f(x)在(,+∞)内不单调 D.函数g(x)-f(x)在(,+∞)内有极大值,无极小值 8.与曲线y=ex和y=-都相切的直线方程为　　　　　.  9.已知直线y=kx+b是曲线y=ln(1+x)与y=2+ln x的公切线,则k+b=　　　　　.  二、综合提升练 10.若函数f(x)=2aln x+1与g(x)=x2+1的图象存在公切线,则实数a的最大值为(　　) A.e B.2e C. D.e2 11.若直线l与曲线y=ex相切,切点为M(x1,y1),与曲线y=(x+3)2也相切,切点为N(x2,y2),则2x1-x2的值为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 12.(多选题)若存在直线与曲线f(x)=x3-x,g(x)=x2-a2+a都相切,则a的值可以是(　　) A.0 B.- C.log2 D. 13.已知函数f(x)=2+ln x,g(x)=a,若总存在两条不同的直线与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,则实数a的取值范围为(　　) A.(0,1) B.(0.2) C.(1,2) D.(1,e) 14.若曲线f(x)=3x2-2与曲线g(x)=-2-mln x(m≠0)存在公切线,则实数m的最小值为(　　) A.-6e B.-3e C.2 D.6e 15.若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线,则a=　　　　　.  1.D　解析 设(t,et)是f(x)图象上的一点,f'(x)=ex,所以f(x)在点(t,et)处的切线方程为y-et=et(x-t),y=etx+(1-t)et①,令g'(x)==et,解得x=e-t,g(e-t)=ln e-t+2=2-t,所以=et,1-t=(1-t)et,所以t=0或t=1(此时①为y=ex,b=0,不符合题意,舍去),所以t=0,此时①可化为y-1=1×(x-0),y=x+1,所以a+b=1+1=2,故选D. 2.B　解析 设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f'(x)=3ax2+2bx+c, ∴f'(0)=c==2,设g(x)=xf(x),则g(1)=f(1)=a+b+2=2,即a+b=0①,又g'(x)=f(x)+xf'(x), ∴g'(1)=f(1)+f'(1)=2,∴f'(1)=0,即3a+2b+2=0②, 由①②可得a=-2,b=2,c=2, ∴f'(2)=-14,故选B. 3.B　解析 ∵f(x)=xln x,∴f'(x)=1+ln x,∴f'(1)=1+ln 1=1,∴k=1,∴曲线y=f(x)在A(1,0)处的切线方程为y=x-1, 由得ax2-2x+1=0,由Δ=4-4a=0,解得a=1,故选B. 4.B　解析 设函数f(x)=x2-2m,g(x)=3ln x-x的公共点为(x0,y0), 则 解得故选B. 5.A　解析 设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m,f(m)),(n,f(n)),f'(x)=2x-4,g'(x)=-x-2,g'(n)=f'(m)=,解得m=-+2,代入化简得8n3-8n2+1=0