专题7重难突破16 极值点偏移问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破16　极值点偏移问题 类型一　对称变换 已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 证明：由f′(x)＝(1－x)e－x，知f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ＝－∞，f(0)＝0， ＝0.函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝，如图．由f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，不妨设x1<x2，则必有0<x1<1<x2. 构造函数F(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，x∈(0，1]，则F′(x)＝f′(1＋x)＋f′(1－x)＝(e2x－1)>0，所以F(x)在(0，1]上单调递增，F(x)>F(0)＝0，即f(1＋x)>f(1－x)对x∈(0，1]恒成立． 由0<x1<1<x2，知1－x1∈(0，1]，所以f(1＋(1－x1))＝f(2－x1)>f(1－(1－x1))＝f(x1)＝f(x2)，即f(2－x1)>f(x2)，又因为2－x1，x2∈(1，＋∞)，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以2－x1<x2，即x1＋x2>2. 感悟提升 对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0. (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x，则令F(x)＝f(x)－f. (3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性． (4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系． (5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求．　　 针对练1.(2023·河北邯郸三模)已知函数f(x)＝x2＋mx－xln x. (1)若f(x)在[1，＋∞)单调递增，求实数m取值范围； (2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：x1x2<1. 解析：(1)由题意，f′(x)＝x＋m－1－ln x， 因为f(x)在[1，＋∞)单调递增，所以f′(x)≥0在[1，＋∞)恒成立， 即m≥ln x－x＋1在[1，＋∞)恒成立， 令g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝，g′(x)在[1，＋∞)上恒小于等于0， 故g(x)在[1，＋∞)单调递减，g(x)max＝g(1)＝0，故m≥0. (2)证明：f′(x)＝x＋m－1－ln x有两个零点，即m＝ln x－x＋1有两个根． 由(1)知，g(x)＝ln x－x＋1在(0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，且g(x)max＝g(1)＝0. 所以m<0，且0<x1<1<x2. 要证x1x2<1，只需证x2<， 又g(x)在[1，＋∞)单调递减，只需证g(x2)>g. 又g(x1)＝g(x2)，只需证g(x1)>g， 只需证ln x1－x1＋1>ln－＋1，只需证2ln x1－x1＋>0， 记m(x)＝－x＋2ln x， 则m′(x)＝－－1＋＝－<0， 故m(x)在(0，1)上单调递减， 从而当x∈(0，1)时，m(x)>m(1)＝1－1＝0， 所以m(x1)>0，因此x1x2<1. 类型二　比(差)值换元 (2023·湖北武汉5月模拟)已知f(x)＝ax＋＋c－ln x，其中a，b，c∈R. (1)若b＝c＝0，讨论f(x)的单调性； (2)已知x1，x2是f(x)的两个零点，且x1<x2，证明：x2(ax1－1)<b<x1(ax2－1)． 解析：(1)若b＝c＝0，即f(x)＝ax－ln x(x>0)，可得f′(x)＝a－＝， ①若a≤0，则f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)单调递减； ②若a>0，令f′(x)>0有x>，即f(x)在上单调递减，上单调递增． 综上可得：当a≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减； 当a>0，f(x)在上单调递减，上单调递增． (2)证明：由题意知x1，x2是f(x)的两个零点，且x1<x2， 即ax1＋＋c－ln x1＝0，ax2＋＋c－ln x2＝0， 所以a(x1－x2)＋b＋ln x2－ln x1＝0，即b＝ax1x2－x1x2·， 要证x2(ax1－1)<b<x1(ax2－1)，只需证ax1x2－x2<b<ax1x2－x1， 即证－x2<－x1x2<－x1，即证1－<ln<－1，令t＝>1， 即证1－<ln t<t－1， 令p(t)＝ln t－1＋(t>1)，可得p′(t)＝－＝>0， 即p(t)在(1，＋∞)上单调递增，则p(t)>p(1)＝0，即ln t>1－， 设q(t)＝ln t－t＋1(t>1)，有q′(t)＝－1<0