专题7重难突破15 隐零点问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破15　隐零点问题 类型一　不含参函数的隐零点问题 (2023·河南洛阳模拟)已知函数f(x)＝e·ex－＋1，g(x)＝＋2. (1)求函数g(x)的极值； (2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x)． 解析：(1)g(x)＝＋2的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝， 令g′(x)＝0，x＝e，则当x∈(0，e)时，g′(x)＝>0，g(x)在(0，e)上单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＝<0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减， 故函数g(x)的极大值为g(e)＝＋2，无极小值． (2)证明：f(x)≥g(x)等价于证明xex＋1－2≥ln x＋x(x>0)，即xex＋1－ln x－x－2≥0. 令h(x)＝xex＋1－ln x－x－2(x>0)， h′(x)＝(x＋1)ex＋1－＝(x＋1)， 令φ(x)＝ex＋1－，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 而φ＝e嚄嚄嚄－10<e2－10<0，φ(1)＝e2－1>0， 故φ(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，且x0∈，当x∈(0，x0)时，φ(x)<0，h′(x)<0， h(x)在x∈(0，x0)上单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)>0，h′(x)>0，h(x)在x∈(x0，＋∞)上单调递增， 故h(x)min＝h(x0)＝x0ex0＋1－ln x0－x0－2， 又因为φ(x0)＝0，即ex0＋1＝， 所以h(x0)＝－ln x0－x0－1＝(x0＋1)－x0－1＝0， 从而h(x)≥h(x0)＝0，即f(x)≥g(x)． 已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的合适范围．　　感悟提升 针对练1.(2023·山东德州质检)已知函数f(x)＝acos x＋bex(a，b∈R)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－x. (1)求实数a，b的值； (2)当x∈时，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值． 解析：(1)因为f′(x)＝－asin x＋be上上上x， 所以解得 (2)由(1)知f(x)＝cos x－ex，x∈， 所以f′(x)＝－sin x－ex， 设g(x)＝－sin x－ex, 则g′(x)＝－cos x－ex＝－(cos x＋ex)． 当x∈时，cos x≥0，ex>0， 所以g′(x)<0； 当x∈时，－1≤cos x≤1，ex>1， 所以g′(x)<0. 所以当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，即f′(x)单调递减． 因为f′(0)＝－1<0，f′＝－e－＝嚄嚄嚄－嚄嚄嚄，且e>e>2，所以嚄嚄嚄<嚄嚄嚄， 所以f′>0， 所以∃x0∈，使得f′(x0)＝－sin x0－ex0＝0，即ex0＝－sin x0. 所以当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以f(x)max＝f(x0)＝cos x0－ex0＝cos x0＋sin x0＝sin. 因为x0∈，所以x0＋∈， 所以sin∈，所以f(x0)∈(0，1)． 由题意知，c≥f(x0)， 所以整数c的最小值为1. 类型二　含参函数的隐零点问题 设函数f(x)＝e2x－aln x，a∈(0，2e2)，求证：当x∈(0，1]时，f(x)≥2a＋aln. 解析：f(x)的定义域为(0，1]，f′(x)＝2e2x－＝. 设φ(x)＝2xe2x－a，φ′(x)＝(4x＋2)e2x，当x∈(0，1]时，φ′(x)>0，即φ(x)在区间(0，1]上为增函数，φ(x)∈(－a，2e2－a]． 又因为a∈(0，2e2)， 所以φ(0)＝－a<0，φ(1)＝2e2－a>0. 由零点存在定理可知f′(x)在(0，1]上存在唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0，1]时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，1]上单调递增， 所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)＝e2x0－aln x0， 由2x0e2x0－a＝0，即e2x0＝，两边取对数得ln x0＝ln－2x0， 所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2 ＋aln＝2a＋aln， 所以f(x)≥2a＋aln. 感悟提升 已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关．　　针对练2.已知函数f(x)＝ln x－kx(k∈R)，g(x)＝x(ex－2