专题7拓展培优8 导数中常见的放缩应用（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优8　导数中常见的放缩应用 类型一　与ex，ln x有关的放缩 (1)已知数列的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．S2 022－1>ln 2 022 B．S2 022－1<ln 2 022 C．ln 2 022<S1 011－1 D．ln 2 022>S2 021 (2)已知实数a，b，c满足ea＋c＋e4b－c－1≤a＋4b＋1(其中e为自然对数的底数)，则a2＋b2的最小值是________． 答案：(1)B　(2) 解析：(1)因为ln(x＋1)<x，令x＝，则ln＝ln<，所以ln＋ln＋ln＋…＋ln<1＋＋＋…＋，故ln(n＋1)<Sn，可知D错误．设h(x)＝ln x＋－1，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝－>0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)>h(1)＝0，即ln x>1－，x∈(1，＋∞)．令x＝1＋，则ln＝ln>，所以ln(n＋1)＝ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋…＋＋，故ln(n＋1)>Sn＋1－1，由此可判断AC错误，B正确．故选B. (2)根据常见不等式ex≥x＋1(当且仅当x＝0时等号成立)，可知ea＋c≥a＋c＋1(当且仅当a＋c＝0时等号成立)，e4b－c－1≥4b－c(当且仅当4b－c－1＝0时等号成立)，所以ea＋c＋e4b－c－1≥a＋4b＋1.又因为ea＋c＋e4b－c－1≤a＋4b＋1，所以ea＋c＋e4b－c－1＝a＋4b＋1，此时a＋c＝0且4b－c－1＝0，即a＝－c，b＝，所以a2＋b2＝c2＋＝c2＋c＋＝2＋≥.所以a2＋b2的最小值是. 感悟提升 1．对数放缩 (1)放缩成一次函数，如ln x≤x－1，ln(1＋x)≤x； (2)放缩成双撇函数，如ln x<(x>1)，ln x>(0<x<1)， ln x<－(x>1)，ln x>－(0<x<1)； (3)放缩成二次函数，如ln x≤x2－x，ln(1＋x)<x－x2(－1<x<0)，ln(1＋x)>x－x2(x>0)； (4)放缩成类反比例函数，如ln x≥1－，ln(1＋x)≥. 2．指数放缩 (1)放缩成一次函数，如ex≥x＋1，ex>x，ex≥ex； (2)放缩成类反比例函数，如ex≤(x≤0)，ex<－(x<0)； (3)放缩成二次函数，如ex≥1＋x＋x2(x>0)，ex≥1＋x＋x2＋x3. 3．指对放缩 ex－ln x≥(x＋1)－(x－1)＝2.　　 针对练1.已知函数f(x)＝2x＋1－ln 2x. (1)求证：∀x>0，f(x)≥2； (2)求证：＋＋＋…＋<n＋－(n∈N*且n≥2)． 证明：(1)因为f(x)＝2x＋1－ln 2x(x>0)， 所以f′(x)＝2－＝(x>0)， 令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0<x<， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)min＝f＝2， 所以∀x>0，f(x)≥2，即不等式得证． (2)由(1)知，2x＋1－ln 2x≥2， 所以ln 2x≤2x－1，当且仅当x＝时等号成立， 所以ln x≤x－1，当且仅当x＝1时等号成立，即≤1－， 令x＝n2(n∈N*)，得≤1－(n∈N*)， 所以≤1－，≤1－，≤1－，…，≤1－，所以＋＋＋…＋≤1－＋1－＋1－＋…＋1－＝n－1－<n－1－＝n－1－＝n－1－＝n＋－，即＋＋＋…＋<n＋－(n∈N*且n≥2)． 类型二　与sin x，cos x，tan x有关的放缩 已知函数f(x)＝e－x－cos x，x∈(0，π)，e为自然对数的底数． (1)求证：函数f(x)恰有一个零点； (2)设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点，求证：x1－x0<. 参考数据：ln 2≈0.693 1. 证明：(1)f′(x)＝－e－x＋sin x．当≤x<π时，f(x)＝e－x－cos x>0， 所以f(x)在上没有零点． 当0<x<时，令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝e－x＋cos x>0， 所以f′(x)在上单调递增，f′(0)＝－1<0，f′＝1－e－>0， 所以f′(x)在上存在唯一实根x0， 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在上单调递增． 因为f(0)＝0，f(x0)<f(0)＝0，f＝e－>0， 所以f(x)在上有且只有一个零点x1. 综上，函数f(x)在(0，π)上恰有一个零点． (2)因为x0为f(x)的极值点， 所以f′(x0)＝0，即e－x0＝sin x0. 因为y＝sin x－x的导函数为y′＝cos x－1<0在x∈上恒成立， 所以y＝sin x－x在x∈上单调递减，因此y＝sin x－x<0恒成立，即sin x<x对任意x∈恒成立， 所以sin x0<x0，x0<， 所以有e－x0<x0，即有x0＋ln x0>0.